Урок 44. Проверяем, верно ли

Определения и обозначения

Математическое высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, запись «12 делится на 3» можно проверить, а вопрос «Сколько будет 12 : 3?» не является высказыванием. Это понятие нужно, чтобы отделять проверяемые утверждения от вопросов и просьб.

Истинное высказывание — высказывание, которое соответствует математическим фактам или результату вычисления. Если 5 + 2 = 7, утверждение о равенстве истинно, потому что обе части имеют одно значение. Так можно обозначить верный результат и использовать его в дальнейших рассуждениях.

Ложное высказывание — высказывание, которое не соответствует математическим фактам или результату вычисления. Например, утверждение 5 + 2 = 8 ложно: вычисление даёт 7, а не 8. Понимание этого термина помогает распознавать неверные ответы и исправлять их с обоснованием.

Контрпример — пример, показывающий, что утверждение неверно. Если утверждают, что сумма любых двух нечётных чисел нечётна, числа 3 и 5 дают контрпример: их сумма равна 8. Контрпример нужен, чтобы быстро опровергнуть утверждение, претендующее на верность во всех случаях.

Как это устроено

Чтобы проверить равенство, вычисляют его левую и правую части и сравнивают результаты. Знак равенства означает, что значения этих частей должны совпасть, поэтому похожий вид выражений сам по себе ничего не доказывает. Например, если слева получилось 9, а справа 8, равенство неверно. Иногда достаточно устного счёта, а иногда удобнее записать вычисления по действиям, чтобы не потерять ни одно из них.

Чтобы проверить неравенство, нужно найти значения сравниваемых выражений и установить, какое из них больше или меньше. Знаки > и < указывают направление сравнения, поэтому сперва важно выполнить действия, входящие в выражения. После вычисления проверяют, согласуется ли полученный порядок чисел с записанным знаком. Если знак направлен не в ту сторону, исходное неравенство ложно.

Высказывание о свойствах чисел проверяют, опираясь на известные правила и определения, а не только на один случай. Это нужно потому, что свойство может относиться к целому классу чисел, а отдельные числа показывают лишь частные случаи. Например, для проверки утверждения о чётных числах полезно вспомнить, что чётное число делится на 2 без остатка. Правило позволяет рассуждать обо всех подходящих числах, а не перебирать их по одному.

Если утверждение сформулировано для всех чисел или предметов, одного подходящего примера недостаточно для доказательства: найденный случай подтверждает только себя. Зато один контрпример опровергает такое утверждение, потому что достаточно найти хотя бы один случай, в котором оно не выполняется. Слова «все», «каждый» и «любые» подсказывают, что речь идёт об общем утверждении. Поэтому сначала выясни, требуется доказать его или проверить, нет ли случая, который ему противоречит.

В ответе важно не только отметить истинность или ложность, но и показать вычисление, правило или контрпример. Без обоснования читателю непонятно, как получен вывод и не допущена ли случайная ошибка. Для равенства и неравенства обычно приводят вычисления, а для свойства чисел — подходящее правило или рассуждение. Если утверждение общее и неверное, наглядным обоснованием служит контрпример.

Как проверить математическое высказывание

Сначала определи, к какому виду относится высказывание, а затем выбери соответствующий способ проверки. Для числовых записей вычисли значения, для утверждений о свойствах найди подходящее правило. Если в утверждении есть слова «все» или «каждый», не принимай один удачный пример за доказательство.

Разбор задач

Проверь равенство 36 : 4 = 8.

Нужно выяснить, совпадают ли значения частей равенства. Выражение слева содержит деление, поэтому сначала вычислим его, а затем сравним частное с числом справа. Если результаты отличаются, запись не является верным равенством.

1. Вычислим левую часть: 36 : 4 = 9.
2. Правая часть равна 8.
3. Сравним результаты: 9 ≠ 8, значит части не равны.

Ответ: равенство неверно, потому что 36 : 4 = 9, а не 8.

Проверь неравенство 125 − 48 > 70.

Знак > утверждает, что левая часть больше числа 70. Сначала найдём значение разности: сравнивать исходное выражение с 70 на глаз ненадёжно, ведь вычитание меняет число. После вычисления проверим, действительно ли результат превосходит 70.

1. Вычислим левую часть: 125 − 48 = 77.
2. Сравним полученное число с правой частью: 77 > 70.
3. Знак в исходной записи соответствует этому сравнению.

Ответ: неравенство верно, потому что 125 − 48 = 77 и 77 больше 70.

Верно ли, что сумма любых двух нечётных чисел нечётна?

Слово «любых» означает, что утверждение должно выполняться для каждой пары нечётных чисел. Проверка нескольких удачных пар не доказала бы его, поэтому попробуем найти контрпример. Если сумма хотя бы одной пары окажется чётной, общее утверждение будет опровергнуто.

1. Возьмём два нечётных числа: 3 и 5.
2. Найдём их сумму: 3 + 5 = 8.
3. Число 8 чётное, значит, оно не является нечётным.

Ответ: утверждение неверно; числа 3 и 5 дают контрпример, так как их сумма равна 8.

Типичные ошибки

Считать равенство верным, потому что числа в его частях выглядят похожими, — ошибка: равенство проверяет значения, а не внешний вид записи. Так ошибаются, когда торопятся и принимают знакомые цифры за доказательство. Вычисли обе части отдельно и сравни ответы; если значения не совпали, равенство ложно.

Сравнивать выражения до выполнения необходимых действий опасно, потому что значение выражения может измениться после сложения, вычитания или другого действия. Из-за этого легко перепутать знак неравенства. Сначала вычисли каждую часть, затем сравни получившиеся числа и проверь, указывает ли знак на правильный порядок.

Общее утверждение нельзя считать доказанным после одного подходящего примера. Ученик может обобщить результат, потому что пример выглядит убедительно, но он относится только к выбранному случаю. Чтобы проверить себя, спроси, обосновано ли утверждение для всех значений; используй правило или общее рассуждение.

Исправить ложное высказывание и не объяснить, почему оно неверно, — значит оставить вывод без обоснования. Такое случается, когда ответ кажется очевидным или хочется поскорее закончить. Подкрепи вывод вычислением, правилом либо контрпримером, а затем проверь, что приведённое обоснование действительно относится к исходному утверждению.

Связь с другими темами

Для проверки высказываний нужны навыки устных и письменных вычислений, сравнения чисел и понимание знаков равенства и неравенства. Если вычислить значение неверно или неверно прочитать знак, вывод о высказывании тоже может оказаться ошибочным. Поэтому полезно аккуратно выполнять действия и отдельно проверять полученные результаты.

Такие проверки пригодятся при решении уравнений: найденное значение можно подставить и проверить, получается ли верное равенство. Они также помогают контролировать вычисления и обосновывать свойства чисел. Умение не ограничиваться ответом, а показывать причину делает математическое решение понятным и проверяемым.

Что запомнить

• У математического высказывания есть значение истинности: оно истинно или ложно.
• Равенство проверяют сравнением значений его частей.
• Неравенство проверяют вычислением и сравнением.
• Общее утверждение нельзя доказать одним примером.
• Одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение для всех случаев.
• Обосновывай ответ вычислением, правилом или контрпримером.