"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А.
Составная задача может иметь несколько верных решений: по действиям или одним выражением. Чтобы не запутаться в данных, сначала выясняют, что известно и что требуется найти, а затем составляют краткую запись или схему. План показывает, какие промежуточные результаты нужны и в каком порядке их находить. Сравнение способов помогает выбрать понятный, а проверка — убедиться, что ответ подходит к условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Способ решения задачи — последовательность рассуждений и действий, которая приводит к ответу. Одну задачу можно решить разными способами, если каждый из них учитывает все условия. Это понятие помогает не считать единственный знакомый порядок действий обязательным и выбирать подходящий путь.
План решения — порядок действий, который показывает, какие промежуточные результаты нужны и как с их помощью получить ответ. Он нужен, чтобы не выполнять случайные вычисления и видеть связь между каждым действием и вопросом задачи. План можно сначала проговорить, а затем записать.
Краткая запись — сжатое представление условия с помощью чисел, слов, схемы или таблицы. В ней отдельно видны известные данные и то, что требуется найти. Такая запись помогает не потерять важную информацию и заметить отношения между величинами.
Проверка решения — способ убедиться, что ответ соответствует условию и получен верно. Для этого можно проверить вычисления обратным действием или подставить ответ в ситуацию задачи. Проверка нужна, чтобы отличить верный ответ от случайно полученного числа.
Сначала в условии отделяют известные данные от вопроса: полезно назвать величины и отметить, что именно требуется найти. Затем выясняют отношения между ними — например, стало ли предметов больше, меньше или одна величина в несколько раз больше другой. Это нужно потому, что одинаковые числа могут описывать разные ситуации, а выбранное действие зависит от смысла условия.
Перед вычислениями удобно составить краткую запись или схему. В сплошном тексте числа могут затеряться среди слов, а схема показывает, какие величины относятся друг к другу и что пока неизвестно. Благодаря этому легче увидеть, можно ли сразу ответить на вопрос или сначала нужно найти промежуточную величину.
Чтобы составить план, спроси себя: что можно узнать по уже известным данным? Полученный результат должен помочь найти следующую величину, а в конце — ответить именно на вопрос задачи. Такой порядок защищает от действий, которые сами по себе вычислены верно, но не приближают к решению.
Одну задачу можно решать по действиям или записать все шаги одним выражением. В решении по действиям каждый промежуточный результат назван и понятен; выражение короче, но требует внимательно сохранить порядок действий. Если оба способа передают одни и те же связи между величинами, они приводят к одинаковому результату.
Сравнивая решения, оценивают, какой способ легче объяснить и сколько в нём действий. Выбирать стоит не просто самую короткую запись, а ту, в которой понятен смысл вычислений. В конце нужно проверить, отвечает ли полученное число на вопрос и согласуется ли оно с условием.
| Способ | Как рассуждать | Когда особенно удобен |
|---|---|---|
| Краткая запись или схема | Записать данные, вопрос и связи между величинами. | Когда в условии много чисел или отношений. |
| Решение по действиям | Вычислять по шагам и пояснять каждый промежуточный результат. | Когда важно видеть ход решения. |
| Решение одним выражением | Объединить действия в запись, сохранив их порядок. | Когда связи между действиями понятны. |
| Проверка обратным действием | Выполнить действие, обратное использованному при вычислении. | Когда можно восстановить исходное число или проверить вычисление. |
Начни с краткой записи, если условие трудно удержать в памяти: она не заменяет решение, а помогает его спланировать. Затем выбери запись по действиям или выражением, ориентируясь на ясность рассуждений. Проверка обратным действием дополняет решение, но не заменяет проверку смысла ответа.
В коробке было 24 карандаша, 8 раздали, затем положили ещё 5. Нужно найти, сколько карандашей стало. Сначала количество уменьшается, а потом увеличивается, поэтому действия выполняются именно в этом порядке.
Ответ: 21 карандаш. Проверка по смыслу: после раздачи стало меньше, а после добавления — на 5 больше, чем оставалось.
В двух корзинах 36 яблок: в первой 4, а во второй в 2 раза больше. Всего в трёх корзинах 50 яблок; требуется узнать количество яблок в третьей. Сначала надо вычислить то, чего не хватает для определения суммы в первых двух корзинах.
Ответ: 38 яблок. Проверка: 4 + 8 + 38 = 50, а во второй корзине действительно вдвое больше яблок, чем в первой.
За 3 одинаковые тетради и альбом стоимостью 40 рублей заплатили 130 рублей. Нужно узнать стоимость 5 таких тетрадей и альбома. Сначала отделим стоимость альбома, чтобы найти цену тетрадей, а затем используем найденную цену для пяти тетрадей.
Ответ: 190 рублей. Можно заметить, что стоимость одного альбома известна и в исходной покупке, и в искомой, поэтому она учитывается один раз в каждой сумме. Проверка: 3 · 30 + 40 = 130, значит найденная цена тетради согласуется с условием.
Если начать считать, не выяснив, что требуется найти, можно получить верное промежуточное число и остановиться. Такое случается, когда числа в условии сразу подсказывают знакомое действие. Перед вычислениями сформулируй вопрос своими словами, а после каждого шага проверь, приблизил ли он тебя к ответу.
Изменения величины иногда выполняют в удобном, но неверном порядке. Например, раздачу и добавление карандашей нельзя переставить местами: от этого меняется смысл ситуации и может измениться результат. Проверь, совпадает ли порядок действий с последовательностью событий в условии.
Запись нескольких действий без нужных скобок может изменить порядок вычислений и смысл решения. Эту ошибку допускают, когда хотят сократить запись по действиям, не проверив, как читается выражение. Разбей выражение на шаги и убедись, что каждый шаг соответствует плану; если нужно, поставь скобки.
Можно решить задачу двумя способами и принять разные результаты, не проверив ни один из них. Обычно это означает, что один способ неверно передаёт условие или в вычислениях допущена ошибка. Сравни смысл действий, повтори вычисления и проверь каждый результат по вопросу задачи.
Для решения разными способами нужно понимать условие, выделять данные и вопрос, а также уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление. Без этих умений трудно определить, какие действия описывают ситуацию. Проверка вычислений тоже опирается на понимание обратных действий.
Краткие записи и схемы пригодятся в задачах на движение, цену и количество, сравнение величин и нахождение неизвестного компонента. Во всех этих случаях важно увидеть, как известные величины связаны с неизвестной. Представление условия помогает выбрать нужный порядок вычислений.
Умение сравнивать способы и проверять рассуждения понадобится при составлении выражений и решении составных задач в следующих темах. Эти навыки помогают не только считать, но и объяснять, почему выбранные действия подходят. Тогда решение можно проверить по смыслу, а не только по результату вычислений.
Зачем составлять краткую запись, если условие можно прочитать ещё раз?
Краткая запись собирает данные и вопрос задачи в удобном виде, поэтому связи между ними легче увидеть. При повторном чтении можно снова пропустить, какие величины известны и как они связаны.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Найди промежуточную величину, которую можно вычислить по известным данным. Затем проверь, поможет ли этот результат ответить на вопрос задачи или получить другое необходимое число.
Можно ли решить задачу одним выражением, если она решается по действиям?
Да: действия по порядку можно записать в одном выражении. Скобки нужны, если сначала требуется выполнить действие над частью данных или иначе показать порядок вычислений.
Почему разные способы решения должны привести к одному ответу?
Если способы верно описывают одну и ту же ситуацию, они находят одну и ту же величину. Несовпадение результатов — повод проверить вычисления и то, правильно ли учтено условие.
Как проверить, что ответ действительно подходит к условию?
Подставь найденное число в ситуацию и проверь, выполняются ли все условия задачи. Можно также выполнить обратное действие и убедиться, что оно возвращает к исходным данным.
Урок 54. Решаем задачи разными способами
