"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Кочурова Е.Э., Рыдзе О.А.
Умножение и деление помогают быстрее выполнять вычисления и решать задачи, где нужно найти общее количество, разделить его на равные части или узнать, сколько раз одна величина содержится в другой. При вычислениях с многозначными числами важно учитывать разряды: при умножении переносить лишние единицы в следующий разряд, а при делении начинать с высшего разряда. Результат можно проверить обратным действием, а при делении с остатком — ещё и убедиться, что остаток меньше делителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множитель — число, которое умножают на другое число. В записи 6 × 4 числа 6 и 4 — множители: первое показывает, какое число повторяется, а второе — сколько раз. Названия помогают увидеть, какие числа участвуют в умножении.
Произведение — результат умножения, а также выражение, в котором указаны множители. Например, в записи 6 × 4 = 24 выражение 6 × 4 — произведение, а 24 — его значение. Это слово позволяет различать само действие и полученный ответ.
Делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. В записи 24 : 6 число 24 является делимым, а 6 — делителем. По этим названиям можно понять, какое количество распределяют и на сколько равных частей или групп.
Частное — результат деления. В записи 24 : 6 = 4 частное равно 4, а само выражение 24 : 6 называют частным. Частное показывает, сколько приходится на одну равную часть или сколько раз делитель содержится в делимом.
Умножение связано со сложением одинаковых слагаемых. Например, 5 + 5 + 5 + 5 можно записать короче: 5 × 4, потому что число 5 повторяется четыре раза. Такая запись удобна, когда одинаковых слагаемых много: вместо длинной суммы достаточно указать повторяющееся число и число повторов.
Многозначное число удобно разложить на разрядные слагаемые: 234 = 200 + 30 + 4. Тогда 234 × 3 можно посчитать по частям: 200 × 3 = 600, 30 × 3 = 90, 4 × 3 = 12. Складываем результаты и получаем 702. При вычислении по разрядам действует тот же принцип: если умножение единиц даёт больше девяти единиц, десятки переходят в разряд десятков; так учитывается перенос.
Деление многозначного числа выполняют по разрядам, начиная с высшего. Сначала выясняют, сколько раз делитель содержится в значении старшего разряда; если это значение меньше делителя, берут вместе с ним следующий разряд. Так каждая цифра частного соответствует определённому разряду делимого, и запись результата сохраняет правильное разрядное значение.
При делении с остатком остаток — это часть делимого, которую уже нельзя разделить на целые группы указанного размера. Если остаток равен делителю или больше него, можно выделить ещё одну группу, поэтому частное ещё не окончательное. Деление проверяют умножением: делитель умножают на частное, а при наличии остатка прибавляют его; должно получиться делимое.
Порядок действий помогает не перепутать вычисления в выражении: сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание. Свойства действий позволяют считать удобнее: например, множители можно переставлять, а при умножении суммы на число умножить на него каждое слагаемое. Упрощённое вычисление полезно сверить обратным действием или другим способом, чтобы заметить ошибку.
| Что сравниваем | Умножение | Деление |
|---|---|---|
| Числа, участвующие в действии | Множители | Делимое и делитель |
| Как называется результат | Произведение | Частное |
| Связь между действием и результатом | Множители перемножают | Делимое делят на делитель |
| Как проверить вычисление | Разделить произведение на множитель | Умножить делитель на частное; при остатке прибавить его |
| На что обратить внимание при вычислении по разрядам | Переносить десятки и сотни в следующий разряд | Начинать с высшего разряда и соблюдать разрядное значение цифр |
Сначала найди в строке нужный признак: например, название результата или способ проверки. Затем сравни, как он связан с умножением и делением. Так таблица помогает не путать названия чисел и выбирать подходящую проверку.
Ответ: 234 × 3 = 702.
Ответ: 936 : 3 = 312.
Ответ: 847 : 4 = 211 (ост. 3).
При умножении могут забыть перенести десяток или сотню, получившиеся в разряде. Тогда результат оказывается меньше правильного; иногда перенос добавляют дважды — и ответ становится больше. Ошибка возникает, если считать разряды только по отдельности и не записывать перенос. Проверь промежуточные результаты и выполни обратное действие: произведение, разделённое на множитель, должно дать исходное число.
При делении иногда начинают не с высшего разряда или неверно учитывают значение цифры. Например, цифра 8 в числе 847 означает 8 сотен, а не просто 8 единиц. Такая ошибка сдвигает цифры частного и меняет ответ. Сверяй каждый шаг с разрядом делимого и проверь полученное частное умножением.
Остаток не может быть равен делителю или превышать его. Это случается, когда деление остановили слишком рано или неправильно нашли, сколько групп помещается в делимом. Если остаток не меньше делителя, из него можно выделить ещё одну группу, значит, частное неполное. Проверь одновременно, что делитель × частное + остаток равно делимому, а остаток меньше делителя.
Деление не проверяют только сложением или повторным делением: так легко снова допустить ту же ошибку. Проверка должна быть обратным действием — умножением делителя на частное. Если есть остаток, его нужно прибавить к произведению. Сравни полученное число с делимым: они должны совпасть.
Для вычислений нужны знание таблицы умножения и деления, умение раскладывать многозначное число на разрядные слагаемые и понимание названий разрядов. Связь умножения и деления помогает проверять ответы и решать текстовые задачи, например о равных группах или распределении предметов. Разрядные вычисления становятся основой письменного умножения и деления многозначных чисел.
Почему при умножении нужно переносить десяток в следующий разряд?
Потому что десять единиц составляют один десяток, десять десятков — одну сотню. Если в разряде получилось больше девяти единиц, лишние десятки учитывают в следующем разряде.
С какого разряда начинать деление многозначного числа?
Начинай с высшего разряда — самого крупного разряда числа. Если его значение меньше делителя, нужно рассмотреть вместе с ним следующий разряд.
Как понять, что деление с остатком выполнено правильно?
Проверь равенство: делитель × частное + остаток = делимое. Затем убедись, что остаток не меньше делителя.
Почему остаток не может быть равен делителю?
Если остаток равен делителю, к частному можно добавить ещё одну целую часть. Значит, деление не доведено до конца, и частное указано неверно.
Как проверить результат умножения?
Раздели произведение на один из множителей: должно получиться число, которое умножали. Например, если 234 × 3 = 702, то 702 : 3 = 234.
Урок 53. Умножаем и делим числа
