Сравнение чисел. Знаки > и <

Определения и обозначения

Сравнение чисел — определение того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Например, при сравнении 8 и 5 выясняют, какое из них расположено дальше вправо на числовом ряду. Сравнение помогает выбирать нужное число и проверять, верно ли выполнены вычисления.

Знак > читают «больше»; в записи a > b число a больше числа b. Например, 9 > 4 означает, что девять больше четырёх. Такая короткая запись позволяет сразу увидеть и сравниваемые числа, и результат сравнения.

Знак < читают «меньше»; в записи a < b число a меньше числа b. Так, запись 3 < 7 сообщает, что три меньше семи. Она нужна, чтобы компактно обозначать результат сравнения, не заменяя его длинным предложением.

Неравенство — запись, в которой числа или выражения сравнивают с помощью знаков > или <. Например, 12 < 18 — неравенство, как и 4 + 3 > 6. По неравенству можно понять, какой результат сравнения получен, и проверить, верна ли запись.

Как это устроено

На координатной прямой числа увеличиваются слева направо: каждому числу соответствует точка, а при движении вправо значения возрастают. Поэтому точка числа, расположенная правее другой, соответствует большему числу. Например, 6 правее 2, значит, 6 > 2; порядок точек показывает сравнение без подсчёта разности.

В записи a > b раскрытая сторона знака обращена к a, а остриё — к b, потому что раскрытие показывает сторону большего значения. У знака < расположение обратное: раскрытая сторона обращена к числу справа. Представь, что знак похож на клюв, который раскрывается навстречу большему числу: это помогает не перевернуть запись.

У натуральных чисел сначала сравнивают количество цифр, поскольку каждая дополнительная цифра слева означает новый, более высокий разряд. Например, трёхзначное число больше любого двузначного. Если количество цифр одинаково, начинают с самой левой цифры: она обозначает старший разряд и имеет наибольшее влияние на значение числа. Если цифры совпали, переходят к следующему разряду, пока не найдут различие.

У целых чисел знак показывает их положение относительно нуля: положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева. Поэтому любое положительное число больше отрицательного. У двух отрицательных чисел сравнение идёт наоборот по их модулям: число с меньшим модулем ближе к нулю и расположено правее. Значит, −3 > −6, хотя 3 < 6.

Неравенство читают слева направо, называя числа в том же порядке и произнося знак как «больше» или «меньше». Например, 5 < 9 читают «пять меньше девяти», а не «девять больше пяти», хотя это равносильное утверждение. Такой порядок чтения помогает не переставить числа и правильно передать смысл именно данной записи.

Способы сравнения чисел и запись результата

Сначала найди большее число подходящим способом из второго столбца. Затем проверь, что раскрытая сторона знака направлена к нему, а запись не меняет порядок сравниваемых чисел.

Разбор задач

Задача 1. Сравните 8 и 5 и запишите результат с помощью знака. Сравним числа по их положению на числовом ряду: восьмёрка стоит правее пятёрки, поэтому она больше. В записи числа останутся в порядке условия, а знак должен раскрыться к восьмёрке.

1. Определяем, что 8 больше 5.
2. Ставим знак > между числами, направляя его раскрытую сторону к 8.
3. Получаем 8 > 5.

Ответ: 8 > 5.

Задача 2. Сравните 407 и 398. У обоих чисел по три цифры, поэтому количество цифр не помогает выбрать большее. Сравниваем цифры в одинаковых разрядах слева направо: сначала сотни, затем при необходимости десятки и единицы. Уже цифры сотен различаются, поэтому дальше переходить не нужно.

1. Сравниваем сотни: в числе 407 их 4, а в 398 — 3.
2. Поскольку 4 > 3, число 407 больше независимо от цифр десятков и единиц.
3. Записываем сравнение: 407 > 398.

Ответ: 407 > 398.

Задача 3. Расположите числа −6, 2 и −3 в порядке возрастания и запишите сравнения между соседними числами. Возрастание означает движение от меньшего числа к большему. На координатной прямой сначала стоит −6, правее него — −3, а затем 2. Это также согласуется с правилом: −3 ближе к нулю, чем −6, а положительное 2 больше обоих отрицательных чисел.

1. Сравниваем отрицательные числа: −6 < −3.
2. Сравниваем −3 и 2: отрицательное число меньше положительного, значит, −3 < 2.
3. Записываем числа по возрастанию, сохраняя оба сравнения между соседними числами.

Ответ: −6, −3, 2; −6 < −3 < 2.

Типичные ошибки

Можно перепутать направление знака > или < и поставить его раскрытой стороной к меньшему числу. Такое случается, если запомнить только внешний вид знака и не связать его с результатом сравнения. Проверь запись, прочитав её слева направо: в a > b число a действительно должно быть больше b.

При сравнении натуральных чисел иногда смотрят на последнюю цифру и считают, что она решает всё. Ошибка возникает потому, что цифры воспринимаются отдельно от разрядов, хотя десятки и сотни значат больше, чем единицы. Начинай со старшего разряда слева и двигайся вправо; для проверки можно разложить числа на сотни, десятки и единицы.

Некоторые считают, что −6 больше −3, потому что 6 больше 3. Но знак минус меняет положение числа: на координатной прямой −6 находится левее −3, поэтому −6 < −3. Проверь себя, представив движение от нуля влево: чем дальше влево отрицательное число, тем оно меньше.

При чтении неравенства иногда меняют числа местами или подменяют знак словами в обратном порядке. Например, запись 12 < 18 ошибочно читают как «18 меньше 12». Причина — попытка переформулировать сравнение вместо чтения записи. Чтобы проверить себя, называй числа слева направо, а знак произноси между ними: «12 меньше 18».

Связь с другими темами

Для сравнения натуральных чисел нужно уметь считать и понимать разрядный состав: где единицы, десятки, сотни и другие разряды. Сравнение также связано с координатной прямой, на которой числам соответствуют точки и большее число находится правее. Позже неравенства помогут сравнивать числовые выражения, решать уравнения и неравенства, а также проверять, какие значения подходят условию задачи.

Что запомнить

• На координатной прямой больше число, расположенное правее.
• В записи a > b число a больше числа b.
• В записи a < b число a меньше числа b.
• Раскрытая сторона знака обращена к большему числу.
• Натуральные числа сравнивают, начиная со старшего разряда.
• Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.