Высказывание

Определения и обозначения

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, предложение «Число 7 больше числа 3» сообщает проверяемый факт. Понятие высказывания помогает отличать утверждения от вопросов и выражений, а затем рассуждать об их истинности.

Истинное высказывание — высказывание, содержание которого соответствует действительности или математическим фактам. Например, утверждение «У квадрата четыре стороны» истинно. Этот термин нужен, чтобы обозначать верные утверждения и использовать их при решении задач и доказательствах.

Ложное высказывание — высказывание, содержание которого не соответствует действительности или математическим фактам. Например, «Число 10 делится на 3» — ложное утверждение. Если предложение можно проверить и оно оказалось неверным, это именно ложное высказывание, а не вопрос или неизвестный факт.

Составное высказывание — высказывание, образованное из нескольких высказываний с помощью слов «и», «или», «не». Например, «Число 6 чётное и делится на 3» соединяет два утверждения. Понятие помогает разбирать сложные фразы по частям и определять, от чего зависит их истинность.

Как это устроено

Отличительный признак высказывания — возможность установить его истинность или ложность. Вопрос «Который час?» просит сообщить сведения, а просьба «Открой окно» побуждает к действию, поэтому ни один из этих примеров не утверждает факт. Отдельная запись 4 + 5 тоже не высказывание: это выражение, а не сообщение о результате. Проверяй, утверждает ли предложение что-либо, а затем можно ли оценить это утверждение.

Математическое высказывание проверяют не по тому, насколько оно звучит убедительно, а по его содержанию. Сопоставь его с известным определением или правилом; если этого недостаточно, выполни вычисление. Например, чтобы проверить фразу «12 делится на 3», достаточно разделить 12 на 3 и убедиться, что получается целое число. Такой способ помогает обосновать ответ, а не угадать его.

Иногда истинность зависит от чисел или условий, входящих в предложение. Сравни утверждения «Число 8 больше числа 5» и «Число 5 больше числа 8»: первое истинно, а второе ложно, хотя использованы те же числа. Если появляется переменная, например x > 4, без значения x нельзя решить, верно ли утверждение. Поэтому сначала выясни, заданы ли все нужные числа и условия.

Из простых высказываний получают составные, соединяя их словами «и», «или» или отрицанием «не». Например, фраза «Число 9 больше 5 и меньше 12» состоит из утверждений «9 больше 5» и «9 меньше 12». Разделение на части позволяет проверить каждое утверждение отдельно, а затем учесть способ их соединения. Так сложную фразу становится легче анализировать.

Отрицание высказывания — утверждение о том, что исходная фраза неверна. Если исходное высказывание истинно, отрицание ложно; если исходное ложно, отрицание истинно, потому что оно утверждает противоположное. Например, фраза «Число 4 нечётное» ложна, а её отрицание «Число 4 не является нечётным» истинно. Формулируя отрицание, важно сохранить исходный смысл и не подменить его другим утверждением.

Виды высказываний и их истинность

Сначала найди в таблице вид высказывания или операцию, а затем сравни пример с правилом истинности. Для фразы с «и» проверь обе части; для «или» выясни, истинна ли хотя бы одна. В строке с отрицанием учитывай истинность исходной фразы: отрицание меняет её на противоположную.

Разбор задач

Задача 1. Число 7 больше числа 3

Определите, является ли предложение «Число 7 больше числа 3» высказыванием, и укажите его истинность.

1. Предложение повествовательное: оно сообщает, как соотносятся два числа.
2. Его можно проверить сравнением чисел, поэтому истинность определена.
3. Сравниваем: 7 действительно больше 3, значит, содержание соответствует математическому факту.

Ответ: это высказывание, оно истинное.

Задача 2. Делимость числа 18

Определите истинность высказывания «18 делится на 3 и на 5».

1. Слово «и» соединяет два утверждения: «18 делится на 3» и «18 делится на 5».
2. Проверяем первое: 18 : 3 = 6, поэтому первая часть истинна.
3. Проверяем второе: 18 : 5 не является целым числом, поэтому вторая часть ложна.
4. Для истинности фразы с «и» нужны две истинные части. Здесь одно утверждение ложно, значит, вся фраза ложна.

Ответ: высказывание ложное.

Задача 3. Отрицание утверждения о квадрате

Составьте отрицание высказывания «Все стороны квадрата равны» и укажите истинность исходного высказывания и отрицания.

1. Исходная фраза утверждает, что равны все стороны квадрата.
2. Её отрицание: «Не все стороны квадрата равны». Оно не означает, что стороны обязательно разные попарно: достаточно, чтобы не выполнялось исходное утверждение.
3. У квадрата все стороны равны, следовательно, исходное высказывание истинно.
4. Отрицание истинного высказывания ложно.

Ответ: исходное высказывание истинно, его отрицание «Не все стороны квадрата равны» ложно.

Типичные ошибки

Считать вопрос или приказ высказыванием — ошибка: в них не утверждается факт, истинность которого можно установить. Так бывает, когда любое предложение принимают за утверждение. Проверь себя: можно ли ответить именно «истинно» или «ложно», не выполняя просьбу и не отвечая на вопрос? Если нельзя, это не высказывание.

Не всякая математическая запись является высказыванием. Например, запись 3 + 4 — выражение, которое само по себе ничего не утверждает, хотя после вычисления получится число. Ошибка возникает из-за того, что математические символы принимают за готовое сообщение. Спроси себя, сообщает ли запись факт; равенство 3 + 4 = 7 уже является проверяемым утверждением.

Ложное высказывание не следует путать с предложением, истинность которого пока неизвестна. Ложность можно установить проверкой, а отсутствие нужных данных не доказывает, что фраза неверна. Например, x > 4 нельзя оценить, пока не задано x. Проверь, хватает ли условий для решения: если нет, не называй утверждение ложным.

Составное высказывание со словом «и» не становится истинным, когда истинна только одна его часть. Такую ошибку допускают, проверив лишь удобную часть предложения. Нужно отдельно оценить каждое утверждение: обе части должны быть истинны. Если хотя бы одна ложна, всё высказывание с «и» ложно.

Связь с другими темами

Чтобы понимать математические высказывания, нужно уметь читать предложения и знать смысл слов «равно», «больше», «делится». Без этого нельзя верно понять, какое утверждение проверяется, и выбрать способ проверки. Например, делимость можно установить делением, а сравнение чисел — по их значениям. Поэтому навыки чтения математических записей помогают оценивать истинность.

Понятие высказывания пригодится при изучении логических операций, условий и доказательств. В логике из простых утверждений строят составные и выясняют, когда они истинны. В задачах условие часто задаёт утверждения, которые нужно проверить, а в доказательстве истинность вывода обосновывают рассуждениями. Умение различать истинные и ложные фразы делает такие рассуждения точнее.

Что запомнить

• Высказывание — повествовательное предложение с определённой истинностью.
• Высказывание бывает истинным или ложным.
• Вопросы, просьбы и отдельные выражения не являются высказываниями.
• Составное высказывание строится из простых.
• Высказывание со словом «и» истинно, только если истинны обе его части.
• Отрицание меняет истинность высказывания на противоположную.