Порядок выполнения действий в выражениях со скобками

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий и, возможно, скобок. Например, 8 + 3 · 2 — числовое выражение, значение которого можно найти вычислениями. Это понятие помогает отличать запись, которую нужно вычислить, от отдельного числа.

Скобки — знаки, выделяющие часть выражения и указывающие, что её нужно вычислить раньше действий вне скобок. Например, в записи 18 − (7 + 5) сначала находят сумму в скобках. Скобки помогают задать нужный порядок и избежать неоднозначности.

Порядок выполнения действий — очередность, в которой выполняют вычисления в выражении, чтобы получить его значение. Если менять эту очередность без основания, результат может измениться. Знание порядка позволяет считать выражения одинаково и получать правильный ответ.

Действия одной ступени — сложение с вычитанием, а также умножение с делением. В каждой паре действия равноправны и выполняются слева направо. Это правило нужно, чтобы правильно вычислять, например, 20 − 8 + 3 или 24 : 4 · 2.

Как это устроено

Скобки задают приоритет части выражения: сначала вычисляют то, что находится внутри, а затем используют результат в оставшейся записи. Иначе внешнее действие могло бы изменить числа до того, как будет найдено значение выделенной части. Например, в 18 − (7 + 5) сначала получают сумму 12, и только потом выполняют вычитание. Поэтому скобки нельзя игнорировать, даже если рядом с ними стоит знак действия.

Внутри скобок действует общий порядок: умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Причина в том, что запись без дополнительных скобок подразумевает именно такой приоритет операций. Так, в выражении 3 + 3 · 3 сначала находят произведение, а потом прибавляют 3. Скобки не отменяют это правило, а лишь выделяют место, где его нужно применить.

Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому выбирают действие, которое стоит левее. Такой же принцип действует для сложения и вычитания: ни одно из этих действий не считается автоматически главным. Например, в 24 : 4 · 2 сначала делят 24 на 4, а затем умножают результат на 2. Если нарушить порядок слева направо, получится другое значение.

Если скобки вложены, сначала вычисляют самые внутренние, а потом переходят к тем, что их окружают. Внутренняя часть должна стать известным числом, чтобы можно было подставить его во внешнее выражение. Например, в 5 · (8 − (6 − 2)) сначала считают 6 − 2, затем 8 − полученный результат. После этого умножают итог скобок на 5.

Когда значение в скобках найдено, вычисления на этом не заканчиваются: его используют вместо всей скобочной части. Оставшиеся действия выполняют по обычным правилам приоритета, учитывая, что умножение и деление идут раньше сложения и вычитания. Запись промежуточных результатов помогает видеть, какое действие уже выполнено и что осталось. При этом нельзя переставлять действия местами только ради удобства.

Порядок выполнения действий в выражениях со скобками

Используйте таблицу как план: переходите к следующему шагу, когда выполнили предыдущий. Если скобок несколько, сначала разберите внутренние и примените правила порядка внутри каждой части. После получения чисел вместо скобок проверьте, какие действия остались снаружи.

Разбор задач

Задача. Вычислите 18 − (7 + 5). Здесь скобки выделяют сумму, поэтому вычитание пока выполнять нельзя. Сначала найдём значение этой суммы, а затем продолжим вычисления.

1. Выполняем действие в скобках: 7 + 5 = 12.
2. Подставляем полученный результат: 18 − 12.
3. Вычитаем: 18 − 12 = 6.

Ответ: 6. Сначала получили значение скобок, после чего выполнили оставшееся действие. Если бы мы начали с 18 − 7, то не соблюли бы заданный скобками порядок.

Задача. Вычислите 36 : (3 + 3 · 3). Внутри скобок есть и сложение, и умножение, поэтому сначала нужно выбрать действие с более высоким приоритетом. Деление на 36 выполняется только после вычисления всей скобочной части.

1. В скобках сначала умножаем: 3 · 3 = 9.
2. Теперь складываем: 3 + 9 = 12.
3. Заменяем скобки числом и делим: 36 : 12 = 3.

Ответ: 3. Внутри скобок умножение выполнили раньше сложения, а внешнее деление оставили напоследок. Проверка порядка помогает не принять выражение за 36 : 3 + 3 · 3.

Задача. Вычислите 48 − (18 : 3 + 2 · 4) · 2. Сначала нужно разобраться с действиями в скобках: там есть деление, умножение и сложение. После этого выполняется умножение полученного результата на 2, и только затем вычитание из 48.

1. В скобках выполняем деление и умножение слева направо: 18 : 3 = 6, затем 2 · 4 = 8.
2. Складываем результаты в скобках: 6 + 8 = 14.
3. Выполняем умножение вне скобок: 14 · 2 = 28.
4. Вычитаем: 48 − 28 = 20.

Ответ: 20. Сложение внутри скобок нельзя было выполнять до умножения и деления. Внешнее вычитание также ждало, пока будет найден результат умножения на 2.

Типичные ошибки

Первая ошибка — выполнить действие вне скобок раньше действий внутри них. Обычно так случается, если знак снаружи выглядит привычным или стоит в начале записи, но скобки специально задают другой приоритет. Проверьте себя: до вычислений отметьте скобки и убедитесь, что сначала работаете с их содержимым.

Вторая ошибка — начать со сложения или вычитания внутри скобок, хотя там есть умножение либо деление. Причина — стремление считать слева направо, не проверив приоритет операций. Перед вычислением просмотрите скобочную часть и сначала найдите умножение и деление; затем проверьте, что каждый шаг соответствует этому правилу.

Третья ошибка — считать, что умножение всегда важнее деления или сложение всегда важнее вычитания. Эти действия в каждой паре равноправны, поэтому их выполняют слева направо. Чтобы проверить себя, пройдите выражение от левого края к правому и убедитесь, что не переставляли действия одной ступени.

Четвёртая ошибка — остановиться, едва скобки превратились в число. Скобки лишь задают очередность вычислений, а не отменяют действия, которые стоят снаружи. После упрощения перечитайте оставшуюся запись и выполните все знаки действий; проверка по исходному выражению помогает заметить пропуск.

Связь с другими темами

Для вычислений со скобками понадобятся таблица умножения и деления и правила порядка действий в выражениях без скобок. Эти знания помогают правильно выполнять вычисления внутри выделенной части и затем продолжать их снаружи. Если какой-то шаг вызывает затруднение, полезно отдельно повторить соответствующее действие и его место в порядке вычислений.

Те же правила используют, когда находят значение числового выражения или подставляют числа вместо букв в буквенное выражение. После подстановки получается числовая запись, которую нужно вычислить в установленном порядке. Поэтому навык работы со скобками помогает перейти от простых вычислений к более сложным выражениям.

Что запомнить

• Сначала вычисляют действия в скобках.
• Внутри скобок умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Умножение и деление выполняют слева направо.
• Сложение и вычитание выполняют слева направо.
• После вычисления скобок продолжают действия вне них.
• Если скобки вложены, сначала вычисляют внутренние.