"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Порядок действий — правило, которое показывает, в какой последовательности находить значение выражения. Без него одна и та же запись могла бы давать разные ответы у разных людей. В выражениях без скобок сначала выполняют умножение и деление, затем сложение и вычитание. Если знаки относятся к одной ступени, действия выполняют слева направо. Это правило помогает верно считать выражения и проверять ход вычислений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Порядок действий — правило, определяющее, в какой последовательности выполнять вычисления в выражении. Например, запись 5 + 2 · 3 нужно считать по установленному правилу, а не выбирать порядок по своему усмотрению. Оно нужно, чтобы у всех, кто вычисляет одно и то же выражение, получался одинаковый результат. Порядок действий можно отмечать номерами над знаками или мысленно.
Действия первой ступени — сложение и вычитание; если в выражении без скобок есть только они, их выполняют слева направо. Так, в выражении 18 − 5 + 2 сначала выполняют вычитание, затем сложение. Это правило помогает верно работать с цепочкой из нескольких таких действий. Нельзя считать, что сложение всегда должно предшествовать вычитанию.
Действия второй ступени — умножение и деление; если в выражении без скобок есть только они, их выполняют слева направо. Например, в записи 36 : 6 · 2 сначала выполняют деление, потому что его знак стоит левее. Это определение помогает не приписывать умножению преимущество перед делением. Оба действия имеют равное положение в общем порядке.
Выражение без скобок — запись из чисел, знаков действий и, возможно, букв, в которой нет скобок, задающих отдельный порядок вычислений. Например, 7 + 4 · 2 — выражение без скобок, а (7 + 4) · 2 содержит скобки. Определение нужно, чтобы понимать, к какой записи применять правила этого параграфа. Если скобки есть, они могут изменить последовательность вычислений.
Порядок вычислений нужен, чтобы одно и то же выражение имело однозначное значение у всех, кто его считает. Если не договориться о последовательности, запись с несколькими знаками можно было бы истолковать по-разному. Например, в 4 + 3 · 2 один человек мог бы сначала сложить, а другой — умножить. Общее правило устраняет такую неопределённость и позволяет сравнивать ответы.
Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Это согласуется с тем, как понимаются произведение и частное в записи суммы или разности: сначала находят значение части, связанной умножением или делением, а затем прибавляют или вычитают его. Поэтому в выражении 10 + 2 · 4 сначала находят произведение 2 · 4. Если бы сначала сложили 10 и 2, смысл записи изменился бы. Скобки нужны, когда требуется специально задать такой другой порядок.
Действия одной ступени выполняют слева направо. Когда знаки равноправны, договорённость о направлении позволяет однозначно прочитать цепочку вычислений. Например, деление и умножение в выражении 72 : 8 · 3 не требуют выбора «главного» действия. Сначала выполняют то, что записано левее, и только затем переходят к следующему знаку.
Если в выражении есть действия обеих ступеней, сначала выполняют все умножения и деления, двигаясь слева направо, а затем сложения и вычитания, также двигаясь слева направо. Сначала разбираются с действиями второй ступени, потому что они имеют приоритет перед действиями первой. После этого оставшаяся запись содержит только сложение и вычитание, и для неё действует правило слева направо. Так выражение превращается в последовательность понятных шагов.
Порядок удобно показывать нумерацией знаков действий: сначала отмечают действия второй ступени, затем первой и выполняют вычисления по этой нумерации. Номера помогают не пропустить умножение или деление, если в записи много знаков. Внутри каждой ступени нумеруют слева направо, а к следующей переходят после предыдущей. Этот способ особенно полезен при проверке решения или записи промежуточных вычислений.
| Состав выражения | Какие действия выполнять | Порядок |
|---|---|---|
| Только сложение и вычитание | Действия первой ступени | Слева направо |
| Только умножение и деление | Действия второй ступени | Слева направо |
| Действия обеих ступеней | Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание | В каждой ступени слева направо |
Сначала найди в выражении знаки действий и определи, к какой ступени они относятся. Выбери соответствующую строку таблицы и выполняй действия в указанной последовательности. Если в выражении есть обе ступени, не переходи к сложению или вычитанию, пока не выполнены умножение и деление.
Задача. Вычислите 38 − 17 + 9. Здесь есть только вычитание и сложение, то есть действия первой ступени. Значит, идём слева направо: сначала выполняем действие у первого знака, а потом используем его результат во втором действии.
Первое действие: 38 − 17 = 21. Мы выбрали его, потому что знак вычитания стоит левее знака сложения. Теперь исходная запись заменяется на 21 + 9.
Второе действие: 21 + 9 = 30. К этому шагу мы переходим после выполнения действия слева, не меняя порядок чисел и знаков. Ответ: 30.
Задача. Вычислите 72 : 8 · 3. Деление и умножение относятся к одной ступени, поэтому нельзя выбирать порядок по тому, какое действие кажется привычнее. Смотрим на запись слева направо и выполняем деление первым.
Первое действие: 72 : 8 = 9. Деление стоит левее умножения, поэтому его и выполняем сначала. После этого получаем выражение 9 · 3.
Второе действие: 9 · 3 = 27. Теперь в записи осталось одно действие, и его результат является значением всего выражения. Ответ: 27.
Задача. Вычислите 48 − 6 · 5 + 24 : 3. В записи есть действия обеих ступеней, поэтому сначала нужно отметить умножение и деление. Их выполняем слева направо, а затем разбираемся с оставшимися вычитанием и сложением. Такой план не позволяет ошибочно начать с 48 − 6.
Первым выполняем умножение: 6 · 5 = 30. Умножение и деление относятся ко второй ступени, и в этом выражении умножение стоит левее деления. После замены получаем 48 − 30 + 24 : 3.
Следующим выполняем деление: 24 : 3 = 8. Теперь в выражении остались только действия первой ступени, и запись стала 48 − 30 + 8. Сложение и вычитание будем выполнять слева направо.
Сначала вычитаем: 48 − 30 = 18, затем складываем: 18 + 8 = 26. Мы сохранили исходный порядок действий первой ступени. Ответ: 26.
Ошибка — выполнять все действия просто слева направо, не учитывая ступени. Так поступают, когда переносят привычное чтение записи на вычисления, но в выражении с умножением или делением это может изменить ответ. Например, в 4 + 3 · 2 сначала нужно умножить, а не складывать. Проверь себя: отметь действия второй ступени и убедись, что они выполнены раньше первой.
Некоторые считают умножение важнее деления или сложение важнее вычитания. Это происходит из-за того, что один знак может казаться более привычным, но действия одной ступени равноправны. В записи 72 : 8 · 3 первым будет деление, потому что оно стоит левее. Проверяй себя по расположению знаков, а не по их виду.
Начинать вычисления со сложения или вычитания, хотя есть умножение или деление, — значит нарушать правило ступеней. Ошибка возникает, если считать цепочку строго слева направо, не заметив действия второй ступени. Например, в 15 + 2 · 6 сначала находят 2 · 6. Перед вычислением просмотри всю запись и проверь, не осталось ли умножения или деления.
Не следует менять местами числа или действия, чтобы получить более удобный порядок. Так иногда пытаются упростить вычисления, забывая, что перестановка может изменить значение выражения. Например, деление и умножение нельзя переставлять без проверки, потому что результат зависит от порядка. Сверь каждый шаг с исходной записью: выполняй отмеченное действие, не меняя местами её части.
Для вычислений нужно знать значения знаков сложения, вычитания, умножения и деления, а также уметь выполнять эти действия. Правило порядка действий понадобится при работе с выражениями, где есть скобки, степени и несколько операций. Скобки могут задать отдельный порядок, поэтому важно отличать его от обычных правил для записи без скобок. Правило слева направо также связано с дальнейшим изучением свойств действий и преобразованием числовых и буквенных выражений.
Почему в выражении без скобок умножение выполняют раньше сложения?
Так принято, чтобы запись суммы или разности с произведением имела однозначный смысл. Например, в выражении 4 + 3 · 2 сначала находят произведение 3 · 2, а затем прибавляют 4.
В каком порядке выполнять деление и умножение, если они стоят рядом?
Деление и умножение относятся к одной ступени, поэтому их выполняют слева направо. Например, в записи 72 : 8 · 3 сначала делят 72 на 8, затем умножают результат на 3.
Что делать, если в выражении сложение чередуется с вычитанием?
Сложение и вычитание относятся к одной ступени, поэтому действия выполняют последовательно слева направо. Сначала посчитайте первое действие, затем используйте полученный результат в следующем.
Нужно ли сначала выполнять деление или умножение?
Умножение и деление равноправны: ни одно из них не выполняют раньше только из-за вида знака. Если в выражении есть оба действия, считайте их слева направо.
Как удобно проверить, что действия выполнены в правильном порядке?
Можно пронумеровать знаки действий: сначала отметить умножение и деление слева направо, а затем сложение и вычитание слева направо. После этого выполняйте вычисления в соответствии с номерами и проверьте каждое промежуточное значение.
Порядок выполнения действий в выражениях без скобок
