"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Симметрия помогает сравнивать и строить фигуры, которые совпадают при отражении или повороте на 180°. При симметрии относительно прямой точка и её образ лежат по разные стороны оси на одинаковом расстоянии, измеренном по перпендикуляру. При симметрии относительно точки эта точка становится серединой отрезка между исходной точкой и её образом. Клетки упрощают построения, но для наклонной оси нужно точно учитывать перпендикуляр.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Две точки симметричны относительно прямой, если они лежат на одном перпендикуляре к ней и находятся от неё на одинаковом расстоянии. Прямая при этом делит отрезок между точками пополам и под прямым углом. Это определение подсказывает, как точно строить образ точки, даже если ось наклонная.
Ось симметрии фигуры — прямая, отражение относительно которой совмещает фигуру саму с собой. Если сложить фигуру по такой прямой, её части совпадут. Понятие оси нужно, чтобы распознавать симметричные фигуры и находить прямые, по которым их можно отразить.
Точки симметричны относительно точки, если эта точка является серединой отрезка, соединяющего их. Значит, от центра до каждой из двух точек одинаковое расстояние, а точки лежат на противоположных лучах одной прямой. Это правило используют, чтобы строить образ при повороте на 180°.
Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой каждая точка фигуры переходит в симметричную ей точку, тоже принадлежащую фигуре. При таком преобразовании фигура переходит в себя, хотя её точки меняются местами. Определение помогает отличить фигуру с центром симметрии от фигуры, симметричной только относительно прямой.
У вертикальной или горизонтальной линии сетки перпендикулярное направление совпадает с направлением рядов или столбцов клеток. Поэтому для отражения точки достаточно посчитать клетки от неё до линии и отложить столько же с другой стороны. Так сохраняется расстояние до оси, а сама точка и образ оказываются на одном перпендикуляре. Точка, уже лежащая на оси, не смещается.
Для наклонной прямой простой подсчёт клеток по горизонтали или вертикали не даёт расстояния до оси: кратчайший путь к прямой проходит по перпендикуляру. Поэтому сначала через исходную точку проводят перпендикуляр и находят его пересечение с осью. Затем на продолжении этого перпендикуляра откладывают такое же расстояние. Именно равенство перпендикулярных отрезков делает ось серединным перпендикуляром к отрезку между точками.
Отражение сохраняет расстояния и углы: соответствующие части фигуры при отражении точно совмещаются. Например, две стороны одного угла переходят в две стороны равного угла, а отрезок — в отрезок той же длины. Поэтому меняется расположение фигуры, но не её форма и размер; образ треугольника остаётся равным исходному треугольнику.
Чтобы построить фигуру, симметричную относительно точки, поступают с каждой вершиной отдельно. Проводят прямую через вершину и центр, а затем на продолжении за центром отмечают образ на том же расстоянии. Тогда центр оказывается серединой отрезка между вершиной и её образом. После построения всех вершин их соединяют в порядке, который сохраняет соседство исходных вершин.
Проверить симметричность можно самим преобразованием: при осевой симметрии мысленно отражают фигуру относительно прямой, а при центральной поворачивают её на 180° вокруг точки. Если все части совпали, прямая или точка действительно задаёт симметрию фигуры. На бумаге удобна калька: наложение помогает заметить даже небольшое несовпадение, которое трудно увидеть по клеткам.
| Признак | Отражение относительно прямой | Симметрия относительно точки |
|---|---|---|
| Что задаёт симметрию | Прямая — ось симметрии | Точка — центр симметрии |
| Как расположены соответствующие точки | По разные стороны оси, на одном перпендикуляре и на равном расстоянии от неё | На одной прямой по разные стороны от центра; центр — середина отрезка между ними |
| Как построить образ точки на клетчатой бумаге | Для вертикальной или горизонтальной оси отсчитать равное число клеток с другой стороны; для наклонной провести перпендикуляр | Провести прямую через точку и центр и отложить за центром равное расстояние |
| Что происходит с расстояниями и углами | Длины и углы сохраняются | Длины и углы сохраняются |
| Как проверить симметричность фигуры | Отразить фигуру относительно оси и проверить совпадение | Повернуть фигуру на 180° вокруг центра и проверить совпадение |
Сначала найди в таблице, что именно задано — прямая или точка: от этого зависит способ построения. Затем проверь положение соответствующих точек и сохранение расстояний. Последняя строка помогает убедиться, что симметрична вся фигура, а не только одна её вершина.
На клетчатой бумаге дана точка и вертикальная прямая сетки. Постройте точку, симметричную данной относительно этой прямой. Поскольку ось вертикальная, перпендикуляр к ней идёт горизонтально, поэтому расстояние удобно измерять по клеткам влево и вправо. Образ должен оказаться на той же строке, что и исходная точка.
Ответ: искомая точка находится на той же строке, на равном расстоянии от оси с другой стороны. Если исходная точка отстоит от оси на четыре клетки, образ также отстоит на четыре клетки. Благодаря этому ось делит соединяющий точки отрезок пополам.
Дан треугольник на клетчатой бумаге и наклонная прямая. Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой. Нельзя просто отсчитывать одинаковое число клеток вправо или вверх: расстояние до наклонной оси измеряют по перпендикуляру. Если правильно отразить все три вершины, останется соединить их в том же порядке.
Ответ: построенный треугольник — отражение исходного относительно заданной прямой. У каждой вершины ось проходит через середину отрезка, соединяющего её с образом, и перпендикулярна этому отрезку. Проверьте, что стороны и углы образа равны соответствующим сторонам и углам исходного треугольника.
Дан четырёхугольник и точка O. Постройте фигуру, симметричную ему относительно O, и определите, совпадает ли образ с исходной фигурой. Не следует считать совпадение обязательным: оно зависит от того, является ли O центром симметрии именно этого четырёхугольника. Для проверки нужно построить образ каждой вершины, а не только одной.
Ответ: полученный четырёхугольник симметричен исходному относительно O; он совпадает с ним только тогда, когда O — центр симметрии исходной фигуры. Для каждой пары соответствующих вершин O должна быть серединой соединяющего их отрезка. Если после поворота образа на 180° вокруг O границы не совпадают, исходный четырёхугольник не обладает таким центром симметрии.
Если от оси отложить разные расстояния, точка и её образ окажутся несимметричными. Такое случается, когда расстояние считают на глаз или начинают отсчёт не от перпендикуляра к оси. Проверь себя: ось должна проходить через середину отрезка между точками, а этот отрезок должен быть перпендикулярен оси.
При наклонной оси иногда откладывают расстояние по диагонали клеток, не проверяя прямой угол. Но важна не просто диагональ: отрезок от точки до оси должен быть перпендикулярен ей. Чтобы проверить себя, проведи через точку перпендикуляр и измерь расстояние до оси именно вдоль него, а не по произвольному направлению.
При симметрии относительно точки ошибочно откладывают расстояние в том же направлении, а не за центром. Тогда центр не окажется серединой отрезка между исходной точкой и образом. Проведи прямую через точку и центр и проверь, что две точки лежат на противоположных лучах, а расстояния от центра равны.
Если соединить отражённые вершины не в том порядке, границы многоугольника могут пересечься или получиться неверная фигура. Ошибку допускают, когда строят каждую вершину отдельно и забывают, какие вершины были соседними. Сохраняй порядок вершин исходной фигуры и в конце проверь соответствие сторон и углов.
Для построений на клетчатой бумаге нужны умения находить середину отрезка, проводить перпендикуляр и измерять расстояния по клеткам. Без них трудно проверить, что ось делит отрезок между точками пополам или что точка действительно является центром симметрии. Эти же навыки помогают аккуратно выполнять геометрические построения и обосновывать их.
Симметрия связана с геометрическими преобразованиями: отражение и поворот меняют положение фигуры, сохраняя её форму и размеры. Она помогает изучать свойства многоугольников, замечать равные части фигур и строить чертежи. Поэтому умение находить ось или центр симметрии пригодится в дальнейшей геометрии и при работе с планами и рисунками.
Как понять, что прямая является осью симметрии фигуры?
Представь отражение фигуры относительно этой прямой: каждая точка должна перейти в точку той же фигуры. Можно проверить это на кальке, сложив её по прямой, или сопоставить соответствующие точки по обе стороны оси. Если части фигуры не совпадают, эта прямая не является осью симметрии.
Как построить симметричную точку, если ось наклонная?
Из исходной точки проведи перпендикуляр к наклонной оси. Найди точку пересечения перпендикуляра с осью, а затем отложи от неё по другую сторону такое же расстояние. Полученная точка будет симметричным образом.
Может ли точка лежать на оси симметрии?
Да. Точка на оси при отражении остаётся на месте, потому что расстояние от неё до оси равно нулю. Поэтому она совпадает со своим образом.
Чем симметрия относительно точки отличается от отражения относительно прямой?
При отражении относительно прямой образ находится по другую сторону оси, а сама ось перпендикулярно делит отрезок между точкой и образом пополам. При симметрии относительно точки эта точка является серединой такого отрезка, а образ лежит в противоположном направлении. Такое преобразование можно представить как поворот на 180° вокруг центра.
Как проверить по клеткам, что две фигуры симметричны?
Сначала определи, какая симметрия задана: относительно прямой или точки. Для отражения проверь перпендикулярность к оси и равенство расстояний в клетках, а для симметрии относительно точки — что центр является серединой каждого отрезка между соответствующими точками. Также можно выполнить отражение или поворот на 180° и проверить, совпадут ли фигуры.
Симметрия на клетчатой бумаге
