"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Произведение трёх и более множителей находят последовательным умножением, но не обязательно выполнять действия в том порядке, в котором числа записаны. Сочетательное свойство позволяет менять группировку, а переместительное — переставлять множители. Благодаря этому можно сначала перемножить удобные числа: например, получить круглое число или быстро найти произведение пары. Так устные и письменные вычисления становятся проще, а значение выражения остаётся прежним.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множитель — число, которое участвует в умножении. Например, в записи 2 · 3 · 4 числа 2, 3 и 4 — множители, потому что каждое из них умножается на остальные. Это слово помогает точно назвать части выражения, когда множителей больше двух. Если один из них пропустить, получится уже другое произведение.
Произведение нескольких множителей — результат их последовательного умножения. Запись 2 · 3 · 4 означает, что числа 2, 3 и 4 нужно перемножить, а значение выражения равно 24. Точки обозначают умножение, а запись позволяет коротко представить несколько действий. Она полезна, когда нужно вычислить произведение трёх и более чисел.
Сочетательное свойство умножения — правило, по которому множители можно объединять в группы, не меняя их порядка и значения произведения. Например, (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4). Это свойство нужно, чтобы выбирать, какую часть длинного произведения считать первой. При этом сами множители остаются на прежних местах.
Группировка множителей — выбор тех множителей, которые удобно перемножить сначала. Её показывают скобками: в выражении 2 · 3 · 4 можно начать с (2 · 3) или с (3 · 4). Скобки помогают увидеть первый шаг вычисления. Удачная группировка упрощает счёт, но не меняет исходное выражение.
Чтобы получить произведение трёх чисел, достаточно перемножить сначала любые два множителя, а затем результат умножить на третий. Например, для 2 · 3 · 4 можно сначала найти 2 · 3, а потом умножить полученные 6 на 4. Можно начать и с 3 · 4, потому что оба пути приводят к одному значению. Причина в том, что умножение чисел согласуется с сочетательным свойством.
Сочетательное свойство записывают так: (a · b) · c = a · (b · c). Левая часть означает, что сначала вычисляют a · b, а правая — что сначала вычисляют b · c. Результаты равны, поэтому скобки можно переносить и при произведении большего числа множителей. Свойство позволяет выбрать промежуточное действие, которое легче выполнить.
В записи a · b · c скобок обычно нет, потому что значение произведения не зависит от того, какую пару вычисляют первой. Когда начинают считать, скобки можно мысленно поставить вокруг выбранной пары. Если скобки не написаны, это не означает, что между действиями нет связи: перед нами всё равно произведение, которое можно сгруппировать удобным способом. Такая короткая запись особенно удобна для длинных выражений.
Группировка помогает считать быстрее, если сначала подобрать пару с простым произведением. Например, 3 · 5 · 2 удобнее представить как 3 · (5 · 2): произведение 5 и 2 равно 10, а умножить на 10 легко. Так меньше риск ошибиться в промежуточных вычислениях. Поэтому, выбирая скобки, ищут числа, которые дают круглое или хорошо известное произведение.
Иногда подходящие числа стоят не рядом. Тогда сначала используют переместительное свойство, чтобы поставить их рядом, а затем сочетательное — чтобы объединить скобками. Например, в 4 · 25 · 7 можно расположить множители как 4 · 25 · 7 и вычислить первые два, а в более длинном произведении можно переставлять числа, чтобы собрать удобные пары. Перемена порядка не меняет результат благодаря переместительному свойству; изменение скобок разрешает сочетательное.
| Выражение | Как сгруппировать | Что вычислить сначала | Почему это удобно |
|---|---|---|---|
| Произведение трёх множителей | (a · b) · c или a · (b · c) | Сначала любую выбранную пару | Можно выбрать пару с простым произведением |
| Произведение нескольких множителей | Объединить множители в удобные пары | Пары, дающие круглые числа | Упрощает устные и письменные вычисления |
| Произведение с перестановкой множителей | Переставить множители, затем сгруппировать | Удобные для умножения числа | Перемена порядка не меняет произведение |
Сначала определите, какие множители проще всего перемножить, а затем мысленно или письменно сгруппируйте их. Если удобные числа разделены другими множителями, можно сначала переставить их по переместительному свойству. Таблица помогает выбрать способ вычисления, но не заменяет проверку, что использованы все множители.
Задача 1. Вычислите 3 · 5 · 2. В выражении есть пара 5 и 2, произведение которой легко найти. Поэтому выгодно сначала сгруппировать именно эти множители, а потом умножить результат на оставшееся число. Такой выбор превращает вычисление в умножение на круглое число.
Задача 2. Вычислите 4 · 25 · 7, выбрав удобный порядок действий. Здесь 4 и 25 дают 100, но сначала эти числа нужно поставить рядом, поскольку между ними записано 7. Переставлять множители позволяет переместительное свойство, а объединять выбранную пару — сочетательное. Так вычисление сводится к умножению круглого числа на 7.
Задача 3. Вычислите 8 · 125 · 4 · 25, объяснив выбранную группировку. В выражении можно составить две пары с удобными произведениями: 8 и 125 дают 1000, а 4 и 25 — 100. Пары уже расположены рядом, поэтому переставлять множители не нужно. После вычисления пар останется перемножить два круглых числа.
Первая ошибка — считать, что при другой группировке изменится значение произведения, или, наоборот, переставлять множители, ссылаясь только на сочетательное свойство. Эти свойства легко перепутать, потому что оба помогают менять запись. Проверьте, что именно вы изменяете: скобки можно переносить по сочетательному свойству, а порядок чисел — по переместительному. Равенство (a · b) · c = a · (b · c) не переставляет множители.
Вторая ошибка — потерять множитель или учесть его дважды в длинном произведении. Такое происходит, когда выражение разбивают на пары и торопятся считать промежуточные результаты. Перед вычислением сверьте каждую пару с исходной записью: в ней должны один раз встретиться все множители. После этого полезно пересчитать, сколько чисел было в выражении и сколько вошло в группы.
Третья ошибка — ставить скобки, не проверяя, удобна ли выбранная пара. Любая допустимая группировка сохраняет значение, но некоторые варианты не делают вычисление проще. Ошибку допускают, когда выбирают скобки наугад, не обращая внимания на круглые числа и известные произведения. Проверьте, станет ли следующий шаг легче; если нет, выберите другую пару или переставьте множители по переместительному свойству.
Для работы с произведением нескольких множителей нужны знание таблицы умножения и умение умножать натуральные числа: без этого нельзя выполнить выбранные действия. Также здесь используются переместительное и сочетательное свойства, причём каждое отвечает за своё преобразование. Навык группировки пригодится при вычислении выражений с дробями, когда удобно объединить подходящие множители. Он помогает и при применении распределительного свойства, потому что упрощает отдельные произведения внутри вычислений.
Можно ли перемножать три числа в любом порядке?
Менять группировку множителей можно по сочетательному свойству, а переставлять их местами — по переместительному. Поэтому вычислять разрешается в удобном порядке, если при преобразованиях не потерять и не добавить множитель.
Почему скобки в произведении нескольких чисел можно опустить?
Сочетательное свойство гарантирует, что разные группировки дают одно и то же произведение. Поэтому в записи a · b · c скобки обычно не нужны: порядок умножения можно выбрать при вычислении.
Чем сочетательное свойство отличается от переместительного?
Переместительное свойство позволяет менять местами множители: a · b = b · a. Сочетательное позволяет менять скобки, не меняя порядка: (a · b) · c = a · (b · c).
Как понять, какие множители выгоднее вычислить сначала?
Ищите пару, произведение которой легко найти или которая даёт круглое число, например 5 и 2 или 4 и 25. Если такие числа стоят далеко друг от друга, переставьте множители по переместительному свойству.
Меняется ли результат, если по-разному сгруппировать множители?
Нет, при изменении только группировки значение произведения сохраняется. Например, (a · b) · c = a · (b · c), поэтому можно выбрать скобки, с которыми считать удобнее.
Произведение трёх и более множителей
