Сочетательное свойство умножения

Определения и обозначения

Сочетательное свойство умножения означает, что при умножении нескольких чисел результат не меняется, если изменить расстановку скобок. Например, (2 · 3) · 4 и 2 · (3 · 4) дают одно и то же число. Это свойство нужно, чтобы выбирать удобный порядок вычислений и при этом не менять значение выражения.

Группировка множителей — это объединение нескольких множителей в скобки, чтобы сначала выполнить умножение именно между ними. Так, в записи 6 · (5 · 2) сначала вычисляют 5 · 2. Группировка помогает упростить счёт, например получить круглое число или небольшое произведение.

Произведение — результат умножения, а числа, которые перемножают, называются множителями. В выражении 3 · 5 · 2 множители — это 3, 5 и 2, а всё выражение обозначает их произведение. Названия помогают точно говорить о том, что именно мы группируем и в каком выражении применяем свойство.

Как это устроено

Сравним записи (2 · 3) · 4 и 2 · (3 · 4). В первой сначала получаем 6, а затем умножаем 6 на 4 и получаем 24; во второй сначала получаем 12, а затем умножаем 2 на 12 и также получаем 24. Множители в обоих случаях те же — 2, 3 и 4, поэтому изменилось только то, какие два числа мы перемножили первыми.

Свойство работает потому, что произведение двух множителей можно найти отдельно, а затем умножить результат на третий. При вычислении (a · b) · c сначала находят a · b, после чего умножают на c. При вычислении a · (b · c) сначала находят b · c, а потом умножают на a; для умножения результат в итоге остаётся тем же.

Скобки позволяют подобрать более удобную пару множителей. Например, при умножении 25 · 13 · 4 можно сначала объединить 25 и 4: их произведение равно 100, а умножать на 13 уже легко. Если считать слева направо, сначала пришлось бы находить 25 · 13, что менее удобно; выбор скобок упрощает вычисление, но не меняет произведение.

Если множителей три или больше, сочетательное свойство позволяет менять их группировку по мере вычисления. Например, в выражении 2 · 17 · 5 · 3 можно расставить скобки так: (2 · 17) · (5 · 3). Здесь порядок чисел остался прежним, зато выделены пары, которые удобно перемножить; дальше полученные результаты перемножают между собой.

Сочетательное и переместительное свойства отвечают за разные изменения. Сочетательное меняет расстановку скобок: (a · b) · c = a · (b · c), но оставляет порядок множителей прежним. Переместительное позволяет поменять множители местами, например a · b = b · a; если в выражении изменились и скобки, и порядок чисел, это уже не одно только сочетательное свойство.

Сочетательное свойство умножения и его применение

Сначала посмотри, какие множители дают особенно удобное произведение, и выдели их скобками. Затем вычисли это произведение и умножь его на оставшиеся множители. Следи, чтобы порядок чисел в записи не менялся.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите (4 · 7) · 5, используя сочетательное свойство умножения. В исходной записи сначала предлагается умножить 4 на 7, но можно выбрать другую группировку. Удобно сначала перемножить 7 и 5, потому что это произведение легко найти.

1. Перегруппируем множители, сохраняя их порядок: (4 · 7) · 5 = 4 · (7 · 5).
2. Вычислим произведение в скобках: 7 · 5 = 35.
3. Умножим оставшийся множитель на результат: 4 · 35 = 140.

Ответ: 140. Мы не меняли числа местами, а только выбрали, какие из них умножить первыми. Это и есть применение сочетательного свойства.

Задача 2. Вычислите 25 · 13 · 4 удобным способом. В выражении три множителя, и один из них удобно объединить с 25. Числа 25 и 4 дают 100, поэтому с ними проще начать, чем сразу находить 25 · 13.

1. Перегруппируем множители, не меняя их порядок: 25 · 13 · 4 = 25 · (13 · 4) = (25 · 13) · 4 — но для удобного счёта сначала выделим 25 и 4, используя также переместительное свойство: (25 · 4) · 13.
2. Вычислим круглое произведение: 25 · 4 = 100.
3. Умножим полученное число на оставшийся множитель: 100 · 13 = 1300.

Ответ: 1300. Здесь для объединения 25 и 4 понадобилась перестановка множителей, а для расстановки скобок — сочетательное свойство. Эти два свойства различаются, но вместе помогают выбрать удобный способ вычисления.

Задача 3. Вычислите 2 · 17 · 5 · 3, расставив скобки наиболее удобным образом. Нужно найти пары множителей, произведения которых легко считать. Порядок чисел оставим прежним и выделим сначала первые два, затем последние два множителя.

1. Расставим скобки без перестановки множителей: (2 · 17) · (5 · 3).
2. Вычислим произведения в обеих скобках: 2 · 17 = 34, а 5 · 3 = 15.
3. Перемножим результаты: 34 · 15 = 34 · (10 + 5) = 340 + 170 = 510.

Ответ: 510. Можно также было выбрать иную группировку, если она сохраняет порядок множителей. Главное — не потерять ни одно число и проверить, что все вычисления выполнены верно.

Типичные ошибки

Ошибка: менять множители местами и называть это сочетательным свойством. Такое действие относится к переместительному свойству, поэтому ученик может неверно объяснить использованное правило. Проверь, изменились ли только скобки или сами числа тоже поменялись местами.

Ошибка: изменить порядок множителей, хотя сочетательное свойство разрешает только менять группировку. Так часто делают, потому что удобная пара чисел кажется желанной, но для её создания может потребоваться другое свойство. Сверь исходную и новую записи: при одном лишь сочетательном свойстве числа должны стоять в том же порядке.

Ошибка: расставлять скобки как угодно в выражении с разными действиями. Свойство относится к умножению и не даёт права менять порядок действий в любых выражениях. Проверь, что рассматриваемые множители действительно перемножаются, а не соединены другими действиями.

Ошибка: забыть один множитель или неверно вычислить результат после перегруппировки. Такое случается, когда внимание сосредоточено на скобках и числа переписывают невнимательно. Перечитай список множителей до и после преобразования, а затем проверь вычисление обратным способом или повторным счётом.

Связь с другими темами

Перед изучением свойства нужно знать таблицу умножения, смысл умножения и названия множителей и произведения. Без этого трудно понять, что именно меняется при перегруппировке. Полезно также уверенно считать простые произведения.

Сочетательное свойство помогает при устных и письменных вычислениях, когда выражение содержит несколько множителей. Оно позволяет упрощать такие выражения и выбирать удобную последовательность действий. Это особенно полезно, когда можно получить круглое число.

Правило применяется не только к натуральным числам. В дальнейшем оно используется при умножении целых и дробных чисел, поэтому навык выбора удобной группировки пригодится в разных темах математики.

Что запомнить

• От перестановки скобок при умножении результат не меняется.
• (a · b) · c = a · (b · c).
• Сочетательное свойство меняет группировку, но не порядок множителей.
• Свойство можно применять к трём и более множителям.
• Скобки удобно расставлять так, чтобы вычисления упрощались.