"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Сочетательное свойство умножения показывает, что результат произведения трёх множителей не зависит от того, какие два множителя перемножают первыми. Меняется только группировка, а порядок чисел остаётся прежним: (a · b) · c = a · (b · c). Благодаря этому можно опускать скобки и выбирать удобные пары множителей, например получать 10, 100 или 1000, чтобы быстрее выполнить вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сочетательное свойство умножения означает: произведение не меняется, если по-разному расставить скобки в произведении трёх множителей. Например, (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4). Это свойство нужно, чтобы выбирать удобную пару для первого умножения.
Множитель — число или выражение, участвующее в умножении. В записи 6 · 5 числа 6 и 5 являются множителями. Сочетательное свойство говорит именно о группировке множителей, а не об их перестановке.
Произведение — результат умножения, а также запись самого действия умножения. При сочетательном свойстве сохраняются те же множители и их порядок, меняется лишь группировка. Поэтому выражения (a · b) · c и a · (b · c) имеют одно и то же значение.
Возьмём три натуральных числа: 2, 3 и 4. Можно сначала найти произведение первых двух: (2 · 3) · 4 = 6 · 4 = 24. Можно сначала умножить вторую и третью пары: 2 · (3 · 4) = 2 · 12 = 24, поэтому результат одинаков.
Причина связана со смыслом умножения как повторного сложения. Например, 2 · (3 · 4) означает две группы по 12, а (2 · 3) · 4 — шесть групп по 4. В обоих случаях получается одно и то же общее количество предметов, потому что число предметов и число групп в исходном произведении не меняются.
Буквенная запись свойства выглядит так: (a · b) · c = a · (b · c). Скобки показывают, какое умножение выполняется первым, но не меняют сам набор множителей. Буквы могут обозначать любые числа, для которых выполняется умножение.
Если множителей несколько, скобки часто можно опустить: a · b · c · d. Такая запись означает последовательное умножение всех множителей, а результат не зависит от выбранной группировки. Скобки стоит оставить, если без них порядок действий может быть понятен неправильно.
Группировку выбирают так, чтобы вычисления стали короче. Например, в выражении 25 · 13 · 4 удобно объединить 25 и 4: их произведение равно 100. Иногда полезно получить 10, 100 или 1000, потому что умножение на такие числа выполняется особенно быстро.
| Случай | Запись | Что можно сделать |
|---|---|---|
| Три множителя | (a · b) · c = a · (b · c) | Выбрать, какую пару умножить первой |
| Группировка первых двух множителей | (a · b) · c | Сначала вычислить a · b |
| Группировка последних двух множителей | a · (b · c) | Сначала вычислить b · c |
| Несколько множителей | a · b · c · d | Опустить скобки или объединить удобные пары |
Сначала определите, какие множители записаны в выражении и в каком порядке. Затем сравните возможные пары и выберите ту, произведение которой легче вычислить.
Если для удобной пары требуется изменить порядок множителей, отдельно применяйте переместительное свойство. Сочетательное свойство после этого поможет расставить скобки.
Нужно найти значение произведения трёх множителей. Исходная группировка заставляет сначала вычислять 4 · 7, но можно выбрать более удобную пару 7 и 5.
Ответ: 140.
Множители 25 и 4 дают 100, поэтому их выгодно объединить. В исходной записи они не стоят рядом, и для их сближения понадобится переместительное свойство.
Ответ: 1300.
Здесь можно составить две удобные пары: 8 · 125 = 1000 и 9 · 4 = 36. Порядок множителей оставим прежним, изменяя только группировку в произведении.
Ответ: 36 000.
Перестановка множителей. Ученик считает, что сочетательное свойство разрешает менять числа местами. Это происходит из-за смешения двух свойств; проверьте, сохранился ли исходный порядок, а для перестановки назовите переместительное свойство.
Потеря множителя. При расстановке скобок иногда записывают только часть исходного произведения. Пересчитайте множители слева направо и убедитесь, что каждый встретился ровно один раз.
Применение к сумме. Нельзя считать (a + b) · c равным a + (b · c), поскольку сочетательное свойство относится только к умножению. Посмотрите на знак между числами внутри скобок перед преобразованием.
Остановка после перестановки скобок. Новая запись ещё не является ответом, если вычисления не закончены. После перегруппировки выполните все оставшиеся действия и сравните полученный результат с исходным вычислением.
Для работы со свойством нужны смысл умножения, понятия множителя и произведения, таблица умножения и порядок действий. Эти знания позволяют понимать запись и проверять вычисления.
Сочетательное свойство часто применяют вместе с переместительным при устных и письменных вычислениях. Приёмы группировки пригодятся при изучении рациональных чисел и преобразовании алгебраических выражений.
Что именно меняет сочетательное свойство умножения?
Оно меняет группировку множителей, то есть показывает, какую пару умножить первой. Сами множители и их порядок остаются прежними.
Можно ли менять порядок множителей, используя только сочетательное свойство?
Нет, сочетательное свойство само по себе не разрешает переставлять множители. Для изменения порядка используют переместительное свойство умножения.
Почему в произведении нескольких чисел можно опустить скобки?
Сочетательное свойство доказывает, что разные группировки дают один и тот же результат. Поэтому в цепочке умножений скобки можно убрать, если порядок действий остаётся понятным.
Как выбрать, какие множители сгруппировать?
Ищите множители, произведение которых легко найти или которое даёт круглое число: 10, 100, 1000. Иногда сначала приходится переставить множители с помощью переместительного свойства.
Действует ли сочетательное свойство для сложения или деления?
Для умножения это свойство действует, а для деления — нет. У сложения есть собственное сочетательное свойство, но нельзя переносить правило умножения на выражения с разными действиями.
Сочетательное свойство умножения
