Числа и вычисления

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. В разных учебниках ноль могут включать или не включать в натуральный ряд, поэтому сверяйся с принятым определением. Такие числа отвечают на вопрос «сколько?» и помогают записывать количество объектов.

Целые числа — натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …. Отрицательные числа нужны, чтобы описывать значения ниже нуля, например температуру или долг. Ноль показывает отсутствие количества или границу между положительными и отрицательными числами.

Рациональное число — число, которое можно представить дробью m/n, где m — целое число, а n — ненулевое целое число. Например, −3/4 и 5 = 5/1 — рациональные числа. Такие числа позволяют записывать не только целые количества, но и части единицы.

Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и, возможно, скобок. Например, 8 − 3 · 2 — выражение, а его значение — число, полученное после вычислений: 2. Различие помогает отделять запись задачи от результата, который нужно найти.

Как это устроено

Множества чисел расширяют, когда прежних чисел недостаточно для нужных вычислений. Натуральных чисел хватает для счёта, но вычитание 3 − 5 не даёт натурального результата, поэтому вводят отрицательные числа и ноль. Так получают целые числа; деление 1 : 2 уже не является целым, поэтому нужны рациональные числа. Каждое натуральное число является целым, а каждое целое можно записать дробью со знаменателем 1.

Сложение объединяет количества или показывает изменение, а вычитание находит разность и обратное к сложению. Умножение можно понимать как повторное сложение одинаковых слагаемых, а деление — как распределение поровну или поиск неизвестного множителя. При сложении чисел с разными знаками вычитают меньший модуль из большего и берут знак числа с большим модулем. При умножении и делении одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный; на ноль делить нельзя.

Рациональное число записывают обыкновенной дробью или десятичным числом. Дробь показывает, на сколько равных частей разделили целое и сколько таких частей взяли: например, 3/4. Чтобы перевести конечную десятичную запись в дробь, убирают запятую и ставят в знаменатель 10, 100, 1000 и так далее, считая знаки после запятой; затем дробь можно сократить. Например, 0,5 = 5/10 = 1/2, а дробь можно перевести в десятичную запись делением числителя на знаменатель.

Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все вычисляли одинаково. Сначала выполняют действия внутри скобок, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо: например, в записи 20 : 5 · 2 сначала считают 20 : 5, а не выбирают удобное действие. Если выражение содержит несколько скобок, начинают с внутренних.

Свойства действий позволяют менять порядок вычислений, не меняя значения выражения. Например, слагаемые можно переставлять и группировать: 18 + 7 + 2 = (18 + 2) + 7; так проще получить круглое число. Множители также можно переставлять и объединять в удобные пары: 4 · 25 · 3 = (4 · 25) · 3. При проверке полезно выполнить обратное действие: вычитание проверяют сложением, а деление — умножением.

Числовые множества и действия с числами

Пользуйся таблицей, чтобы выяснить, к какому множеству относится число и может ли результат действия остаться в том же множестве. Например, разность двух натуральных чисел может стать отрицательной, поэтому для неё нужны целые числа. Деление рациональных чисел остаётся рациональным, если делитель не равен нулю.

Разбор задач

Вычислите 48 − 19 + 6

Здесь вычитание и сложение имеют одинаковый приоритет, поэтому действия выполняются слева направо. Не стоит сначала складывать 19 и 6: это изменило бы порядок, заданный записью. После вычисления проверим вычитание обратным сложением.

1. Выполняем первое действие: 48 − 19 = 29.
2. Прибавляем следующее число: 29 + 6 = 35.
3. Проверяем разность: 29 + 19 = 48, значит, вычитание выполнено верно.

Ответ: 35.

Вычислите 3/4 + 0,5 · (2 − 1/3)

В выражении есть скобки и умножение, поэтому сначала вычислим скобки, затем произведение и только потом сумму. Удобно заменить 0,5 дробью 1/2, чтобы все вычисления выполнить с обыкновенными дробями. Для сложения в конце потребуется общий знаменатель.

1. Вычисляем скобки: 2 − 1/3 = 6/3 − 1/3 = 5/3.
2. Умножаем: 1/2 · 5/3 = 5/6.
3. Складываем 3/4 и 5/6. Общий знаменатель — 12: 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.

Ответ: 19/12, или 1 7/12.

Вычислите 2,4 · (−5/6) − (−1,2) : 3/5 и объясните, почему результат рационален

Сначала выполним умножение и деление, а затем вычитание. Десятичные числа удобно представить дробями: 2,4 = 12/5, а −1,2 = −6/5. При делении на дробь умножают на обратную ей дробь, при этом особенно внимательно следят за знаками.

1. Первое произведение: 12/5 · (−5/6) = −2.
2. Выполняем деление: (−6/5) : 3/5 = (−6/5) · 5/3 = −2.
3. Вычитаем: −2 − (−2) = −2 + 2 = 0.
4. Все исходные числа рациональны, а сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел (при ненулевом делителе) рациональны. Здесь делитель 3/5 не равен нулю, поэтому результат 0 рационален.

Ответ: 0.

Типичные ошибки

Считать ноль натуральным числом без оговорки — не всегда верно: определения в учебниках различаются. Путаница возникает потому, что ноль стоит рядом с натуральным рядом на числовой прямой и часто используется при счёте разрядов. Проверь, с какого числа начинается натуральный ряд в принятом определении. При этом ноль в любом случае является целым и рациональным числом.

При сложении или вычитании дробей нельзя складывать или вычитать знаменатели: знаменатель показывает размер долей, и разные по размеру доли сначала нужно сделать одинаковыми. Ошибка возникает, когда числители и знаменатели воспринимают как два независимых числа. Приведи дроби к общему знаменателю и проверь ответ обратным действием или оценкой. Например, 1/2 + 1/3 = 5/6, а не 2/5.

При умножении и делении отрицательных чисел легко перепутать знак ответа. Запомни пары: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус; правило относится и к двум отрицательным множителям. Ошибка часто появляется, если смотреть только на числа, не выделяя их знаки. До вычисления отдельно определи знак, а затем посчитай модули.

Выполнять все действия строго слева направо — неверно, если в выражении есть скобки или действия разного приоритета. Такой подход кажется естественным из-за расположения знаков, но умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Отметь скобки, затем действия одного уровня и выполняй их слева направо. Для проверки можно подставить промежуточные результаты обратно в выражение.

Связь с другими темами

Для работы с числами нужны навыки устного и письменного счёта, знание таблицы умножения и понимание того, что обозначает дробь. Координатная прямая помогает увидеть порядок чисел и смысл отрицательных значений. Эти основы пригодятся при решении уравнений и текстовых задач, а также при работе с отношениями и процентами. Представление о числовых множествах понадобится и дальше: при изучении десятичных приближений, координат и функций.

Что запомнить

• Натуральные числа входят в множество целых чисел.
• Целые числа входят в множество рациональных чисел.
• Рациональное число можно записать в виде дроби с целым числителем и ненулевым целым знаменателем.
• На ноль делить нельзя.
• Скобки определяют порядок выполнения действий.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Проверка обратным действием помогает обнаружить ошибку в вычислении.