"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Сочетательное свойство умножения позволяет менять группировку множителей, не изменяя значение произведения: (a · b) · c = a · (b · c). Благодаря ему можно сначала перемножить те числа, с которыми удобнее считать, например получить круглое число. Порядок множителей при этом остаётся прежним; чтобы его изменить, нужно переместительное свойство. Это правило работает и тогда, когда множителей больше трёх.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множители — числа, которые перемножают. В записи 3 · 4 множители — это 3 и 4, а знак · показывает, что их нужно умножить. Множители указывают, какие числа участвуют в действии, и могут состоять не только из однозначных чисел.
Произведение — результат умножения нескольких чисел. Например, в выражении 3 · 4 · 2 произведение — это всё выражение, а после вычисления его значение равно 24. Это слово также используют, говоря о результате умножения двух или большего числа множителей.
Сочетательное свойство умножения — равенство (a · b) · c = a · (b · c), где a, b и c обозначают множители. Оно говорит, что при умножении трёх чисел можно по-разному объединять множители скобками. Свойство нужно, чтобы выбирать более удобный порядок вычислений, не меняя самого произведения.
Группировка множителей — объединение множителей скобками, которое задаёт, какие вычисления выполнить первыми. В выражениях (2 · 5) · 7 и 2 · (5 · 7) скобки стоят по-разному, но числа расположены в том же порядке. Такое различие помогает управлять вычислениями, не переставляя множители.
Возьмём три числа: 2, 5 и 7. Выражение (2 · 5) · 7 предлагает сначала перемножить 2 и 5, а выражение 2 · (5 · 7) — сначала 5 и 7. В обоих случаях можно вычислить произведение: (2 · 5) · 7 = 10 · 7 = 70, а 2 · (5 · 7) = 2 · 35 = 70. Значит, при неизменном порядке трёх множителей выбор соседней пары для первого вычисления не меняет результат.
Причина этого равенства связана со смыслом умножения. Умножить число на произведение двух других чисел — значит взять это число столько раз, сколько единиц содержится в произведении, и результат совпадает с последовательным умножением всех трёх множителей. Например, 2 · (5 · 7) — это две группы по 35, то есть 70; если сначала получить 2 · 5, то семь таких групп тоже дадут 70. Поэтому скобки задают только ход вычисления, а не новое значение произведения.
Сочетательное свойство полезно, когда среди множителей есть пара, которую легко перемножить или которая даёт круглое число. Например, в 4 · 25 · 6 удобно сначала получить 4 · 25 = 100, а затем умножить 100 на 6. Так проще, чем выполнять вычисления в другой группировке, потому что умножение на 100 легко посчитать. При выборе пары сохраняй порядок множителей, если используешь только сочетательное свойство.
Если множителей четыре или больше, скобки можно перемещать постепенно. Например, в записи 2 · 3 · 5 · 4 можно сначала сгруппировать первые три множителя как (2 · 3) · 5, а затем выделить удобную пару 5 и 4: 2 · 3 · (5 · 4). Порядок чисел 2, 3, 5, 4 здесь сохранён, а значение произведения не меняется. Для длинного произведения это правило применяют несколько раз, пока вычисления не станут удобными.
Сочетательное свойство меняет только группировку, но не порядок множителей. Например, из 2 · 5 · 7 с его помощью можно получить (2 · 5) · 7 или 2 · (5 · 7), однако запись 2 · 7 · 5 требует уже перестановки 5 и 7. Переместительное свойство умножения как раз разрешает менять множители местами; сочетательное и переместительное свойства вместе помогают выбирать удобные вычисления.
| Запись | Что можно менять | Что остаётся неизменным | Пример |
|---|---|---|---|
| (a · b) · c = a · (b · c) | Группировку множителей скобками | Порядок множителей и значение произведения | (2 · 5) · 7 = 2 · (5 · 7) |
Сначала найди в таблице, что именно разрешено менять: это скобки, а не расположение множителей. Затем проверь, что обе записи содержат одни и те же множители в одном порядке. Пример показывает равенство двух вариантов группировки.
Задача. Вычислите (4 · 25) · 6. Нужно получить удобное для счёта произведение, поэтому начнём с множителей 4 и 25. Они уже стоят рядом внутри скобок, и их произведение равно круглому числу 100.
Вычислим выражение в первых скобках: 4 · 25 = 100. Это удобный выбор, потому что умножение на 100 выполняется быстро.
Подставим результат вместо первых скобок: (4 · 25) · 6 = 100 · 6. Порядок множителей не менялся, мы только выполнили вычисление внутри скобок.
Вычислим 100 · 6 = 600. Умножение на 100 означает, что число 6 увеличивается в сто раз.
Ответ: 600.
Задача. Вычислите 8 · (125 · 4), выбрав удобную группировку. Если сначала перемножить 125 и 4, получится 500; однако можно применить сочетательное свойство и объединить 8 с 125. Эта пара даёт 1000, поэтому дальнейший счёт упрощается.
Перегруппируем множители, не меняя их порядок: 8 · (125 · 4) = (8 · 125) · 4. Это равенство следует из сочетательного свойства.
Вычислим произведение в новых скобках: 8 · 125 = 1000. Мы выбрали эту пару, потому что тысячу удобно умножать на небольшое число.
Завершим вычисление: 1000 · 4 = 4000. В записи по-прежнему стоят множители 8, 125 и 4 именно в исходном порядке.
Ответ: 4000.
Задача. Вычислите 2,5 · (4 · 3,2), не меняя порядок множителей. Сначала можно умножить 4 на 3,2, но произведение 2,5 и 4 проще найти: оно равно 10. Перегруппируем выражение так, чтобы первой оказалась именно эта пара.
Применим сочетательное свойство: 2,5 · (4 · 3,2) = (2,5 · 4) · 3,2. Порядок 2,5; 4; 3,2 сохранён, изменились только скобки.
Вычислим выражение в скобках: 2,5 · 4 = 10. Теперь осталось умножить десять на десятичную дробь 3,2.
Выполним последнее умножение: 10 · 3,2 = 32. При умножении десятичной дроби на 10 запятая переносится на один знак вправо.
Ответ: 32.
Ошибка — считать, что сочетательное свойство разрешает менять порядок множителей. Её допускают, потому что после перестановки произведение часто тоже остаётся прежним, но это уже объясняется переместительным свойством. Проверяй, стоят ли множители в исходном порядке: если нет, обоснуй перестановку переместительным свойством.
Нельзя менять смысл выражения вместе со скобками, например считать (a · b) · c равным a · (b + c). Такая запись заменяет умножение на сложение, а сочетательное свойство касается только группировки множителей в произведении. Сверяй знаки действий и состав множителей до и после преобразования.
Сочетательное свойство относится к умножению, поэтому оно само по себе не разрешает перегруппировать слагаемые или преобразовать выражение со сложением. Ошибка возникает, когда знакомое правило переносят на другое действие. Проверь, что между всеми объединяемыми числами стоит знак умножения; для сложения нужны собственные свойства.
После правильной перегруппировки можно ошибиться в обычном вычислении, например неверно умножить 100 на 6. В таком случае ошибка находится не в свойстве, а в счёте. Пересчитай выбранные произведения отдельно и проверь ответ обратным действием или другим способом вычисления.
Перед изучением свойства нужно знать смысл умножения, уметь распознавать множители и произведение, а также уверенно пользоваться таблицей умножения. Переместительное свойство позволяет менять порядок множителей, а сочетательное — группировать их; вместе эти правила помогают выбирать удобный способ счёта. Они пригодятся при умножении нескольких чисел, в том числе дробей, и при упрощении числовых выражений.
Что именно разрешает менять сочетательное свойство умножения?
Оно разрешает менять группировку множителей скобками: например, заменить (a · b) · c на a · (b · c). Значение произведения при этом остаётся тем же.
Можно ли с помощью этого свойства переставлять множители?
Нет, сочетательное свойство меняет только группировку и сохраняет порядок множителей. Для их перестановки используют переместительное свойство умножения.
Как выбрать, какие множители объединить первыми?
Выбирай пару, которую проще перемножить или которая даёт круглое число. Например, в произведении 4 · 25 · 6 удобно сначала вычислить 4 · 25.
Можно ли применять сочетательное свойство, если множителей больше трёх?
Да. Можно последовательно менять группировку соседних множителей, не нарушая их порядок и сохраняя значение произведения.
Работает ли сочетательное свойство при умножении дробей?
Да, свойство действует и при умножении обыкновенных и десятичных дробей. Можно сгруппировать дроби так, чтобы вычисления стали проще, сохраняя порядок множителей.
1.13. Сочетательное свойство умножения
