1.12. Кубический дециметр. Кубический метр

Определения и обозначения

Объём — величина, характеризующая, сколько места занимает тело. Например, объём коробки показывает, сколько пространства находится внутри неё. Понятие объёма нужно, чтобы сравнивать тела и находить вместимость ёмкостей.

Кубический дециметр — это объём куба с ребром 1 дм; его обозначают 1 дм³. Иными словами, речь идёт не о длине одного ребра, а о пространстве, заключённом внутри такого куба. Дм³ используют, например, для измерения объёма небольших ёмкостей.

Кубический метр — объём куба с ребром 1 м, обозначаемый 1 м³. Он показывает, сколько пространства занимает куб, у которого длина, ширина и высота равны одному метру. Этой единицей удобно измерять объём помещений и крупных предметов.

Кубический сантиметр — объём куба с ребром 1 см; обозначение — 1 см³. Это небольшая единица, подходящая для измерения объёмов маленьких предметов. Верхний индекс 3 напоминает, что учитываются три измерения, а не только длина.

Как это устроено

Чтобы понять, почему единица объёма связана с тремя измерениями, представь прямоугольную коробку. Сначала можно измерить, сколько единичных кубиков помещается вдоль её длины, затем — сколько рядов помещается по ширине и сколько слоёв укладывается по высоте. Общее число кубиков получается умножением этих трёх количеств, поэтому и объём прямоугольного тела находят по длине, ширине и высоте.

Обозначения см³, дм³ и м³ описывают объём куба, а не его ребро. Например, куб с ребром 1 см состоит из единичного объёма 1 см³; если каждое ребро измерять в дециметрах или метрах, получаются соответственно кубические дециметр и метр. Показатель 3 указывает на три направления измерения: длину, ширину и высоту.

В одном дециметре содержится 10 сантиметров, значит, вдоль каждого ребра куба с ребром 1 дм можно разместить 10 отрезков по 1 см. На одном слое получится 10 рядов по 10 кубиков, то есть 100 кубиков по 1 см³. Таких слоёв тоже 10, поэтому всего помещается 100 · 10 = 1000 кубиков, и 1 дм³ = 1000 см³.

По той же причине 1 м³ равен 1000 дм³. В одном метре содержится 10 дециметров, следовательно, в каждом ребре метрового куба укладывается по 10 отрезков длиной 1 дм. Число кубиков с объёмом 1 дм³ равно 10 · 10 · 10 = 1000, поэтому один кубический метр содержит тысячу кубических дециметров.

При переходе от одной единицы длины к соседней её величина меняется в 10 раз, но объём задаётся тремя измерениями. Поэтому соответствующая кубическая единица меняется в 10 · 10 · 10 = 1000 раз, а не в 10 раз. Чтобы перевести значение из более крупной кубической единицы в соседнюю меньшую, умножай его на 1000; для обратного перевода дели на 1000.

Кубические единицы объёма и их соотношения

В таблице каждая строка показывает, чему равна одна кубическая единица, если выразить её в других единицах. Например, в строке 1 м³ видно, что это 1000 дм³. Используй её, чтобы проверять перевод и не путать множители для длины и объёма.

Разбор задач

Выразите 4 дм³ в кубических сантиметрах.

Нужно перевести объём в меньшие единицы. Поскольку 1 дм³ = 1000 см³, каждый кубический дециметр содержит тысячу кубических сантиметров. Поэтому количество дм³ умножаем на 1000.

1. Запишем соотношение: 1 дм³ = 1000 см³.
2. Умножим 4 на 1000: 4 · 1000 = 4000.
3. Укажем единицу результата — см³.

Ответ: 4 дм³ = 4000 см³.

Выразите 2 м³ 35 дм³ в кубических дециметрах.

В записи используются две разные единицы, поэтому сначала переведём кубические метры в кубические дециметры. Затем объёмы можно сложить, так как они будут выражены в одной единице. Оставшиеся 35 дм³ уже записаны в нужной единице и не требуют перевода.

1. Переведём 2 м³: 2 · 1000 = 2000 дм³.
2. Прибавим 35 дм³: 2000 + 35 = 2035 дм³.
3. Проверим, что в ответе указаны только кубические дециметры.

Ответ: 2 м³ 35 дм³ = 2035 дм³.

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с длиной 8 дм, шириной 5 дм и высотой 6 дм. Найдите его объём в дм³ и м³.

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому его объём равен произведению трёх измерений. Сначала найдём объём в кубических дециметрах, ведь все размеры даны в дециметрах. Затем переведём результат в кубические метры, разделив число на 1000.

1. Найдём объём: 8 · 5 · 6 = 240 дм³.
2. Переведём в м³: 240 : 1000 = 0,24 м³.
3. Проверим направление перевода: в более крупных единицах числовое значение должно стать меньше.

Ответ: объём аквариума равен 240 дм³, или 0,24 м³.

Типичные ошибки

При переводе дм³ в см³ иногда умножают на 10, потому что в одном дециметре 10 сантиметров. Так учитывается только одно ребро, хотя объём включает три измерения. Проверь себя: для кубической единицы нужно перемножить три множителя 10, поэтому получается 1000.

Некоторые считают, что 1 м³ = 100 дм³, перенося в объём множитель 10 дважды. Но у куба три ребра, и на каждом укладывается по 10 дециметров. Проверка: 10 · 10 · 10 = 1000, следовательно, правильное равенство — 1 м³ = 1000 дм³.

Запись см³ иногда принимают за сантиметры или пишут без верхнего индекса 3. Это происходит, когда забывают, что единица измерения зависит от того, что именно считают: длину или объём. Перед вычислением проверь, что у объёма стоит показатель 3; см — длина, а см³ — объём.

В составной записи вроде 2 м³ 35 дм³ нельзя складывать числа 2 и 35 напрямую. Числа относятся к разным единицам, поэтому сначала одно слагаемое нужно перевести в единицу другого. Проверка простая: перед сложением подпиши единицы у обоих чисел и убедись, что они совпадают.

Связь с другими темами

Для работы с кубическими единицами нужно знать соотношения между единицами длины: 1 дм = 10 см и 1 м = 10 дм. Эти равенства помогают понять, откуда при переводе объёма берётся множитель 1000. Также понадобится умение находить объём прямоугольного параллелепипеда по трём измерениям: длине, ширине и высоте.

Кубические единицы применяют, когда вычисляют объём комнат, коробок и ёмкостей. Они помогают сравнить вместимость предметов и решить практические задачи, например оценить, сколько пространства займёт груз. Для сложения таких объёмов сначала выражают их в одинаковых единицах.

Что запомнить

• Кубическая единица показывает объём куба с ребром в одну единицу длины.
• 1 дм³ = 1000 см³.
• 1 м³ = 1000 дм³.
• При переводе между соседними кубическими единицами используют множитель 1000.
• Перед сложением объёмы приводят к одной единице измерения.
• Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.