"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Многогранник — геометрическое тело, ограниченное замкнутой поверхностью из многоугольников. Эти многоугольники называют гранями, их общие стороны — рёбрами, а точки соединения рёбер — вершинами. По форме граней и их расположению можно описывать и узнавать многогранники, например куб и прямоугольный параллелепипед. Главное — помнить, что поверхность должна быть замкнутой, а при подсчёте нужно учитывать также невидимые на рисунке элементы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Иными словами, его оболочка собрана из плоских фигур и полностью ограничивает некоторую часть пространства. Это определение помогает отличить многогранник от тела с круглой или криволинейной поверхностью.
Грань — многоугольник, составляющий часть поверхности многогранника. Например, у куба каждая квадратная сторона является гранью. Грани нужны, чтобы описывать форму тела и понимать, из каких плоских частей оно составлено.
Ребро — сторона грани, являющаяся общей для двух соседних граней. Оно появляется там, где две грани соединяются и меняется направление поверхности. По рёбрам удобно находить границы граней и подсчитывать элементы многогранника.
Вершина — общая точка нескольких рёбер многогранника. В ней сходятся стороны разных граней, поэтому вершина обычно выглядит как угол тела. Вершины помогают определить положение многогранника в пространстве и пересчитать места соединения рёбер.
Многоугольники соединяются сторонами так, чтобы соседние фигуры имели общие отрезки. Если соединить их подходящим образом, края отдельных многоугольников совпадут, а внутренняя часть поверхности не будет разорвана. Когда все внешние края закрыты и поверхность возвращается к исходной точке, она становится замкнутой и ограничивает многогранник.
У каждого ребра две соседние грани, потому что ребро является общей стороной ровно двух участков замкнутой поверхности. Если бы к нему примыкала только одна грань, поверхность имела бы незакрытый край. Если бы граней было больше двух, в обычной точке ребра поверхность пересекалась бы неправильно и не образовывала обычный многогранник.
Рёбра сходятся в вершинах, поскольку конец одного отрезка должен соединяться с концами других сторон. В вершине встречаются несколько граней, образуя пространственный угол. Поэтому вершину ищут не как любую точку на поверхности, а как место, где сходятся рёбра.
На пространственном изображении ближние части тела видны полностью, а дальние могут быть закрыты гранями. Видимые рёбра обычно проводят сплошными линиями, невидимые — штриховыми или мысленно восстанавливают. Чтобы не пропустить скрытые элементы, полезно сначала представить тело целиком, а затем отделить его переднюю часть от задней.
Названия и форма граней помогают описывать многогранник: у куба грани являются квадратами, а у прямоугольного параллелепипеда — прямоугольниками. Но одного набора многоугольников недостаточно, потому что они могут быть соединены не по всем сторонам или оставить отверстие. Проверяют, замкнута ли поверхность и принадлежит ли каждое внешнее ребро двум соседним граням.
У куба шесть граней, и каждая из них — квадрат. Двенадцать сторон этих квадратов после соединения становятся рёбрами куба, причём каждое ребро принадлежит двум граням. Восемь точек, где сходятся рёбра, являются его вершинами.
| Элемент | Что представляет собой | Как распознать на рисунке |
|---|---|---|
| Грань | Многоугольник на поверхности многогранника | Замкнутая плоская область, ограниченная рёбрами |
| Ребро | Общая сторона двух соседних граней | Отрезок, соединяющий вершины и разделяющий грани |
| Вершина | Общая точка нескольких рёбер | Точка, в которой сходятся рёбра |
Пользуйтесь таблицей при разборе рисунка: сначала находите плоские области, затем их общие стороны и наконец точки соединения сторон. Если часть элемента закрыта, восстанавливайте его по форме всего тела. Невидимость на рисунке не означает отсутствие элемента.
Условие. На рисунке куба назовите грани, рёбра и вершины, отметьте невидимые рёбра. Нужно распознать элементы не только на передней части изображения, но и внутри пространственной схемы.
Сначала найдите шесть квадратных областей, из которых составлена поверхность куба. Это его грани.
Затем пересчитайте отрезки, разделяющие соседние грани. Их должно быть 12, причём часть задних рёбер может быть скрыта.
Отметьте восемь точек, где сходятся рёбра. Это вершины куба.
Проверьте заднюю и нижнюю части мысленной модели. Рёбра, закрытые ближайшими гранями, обозначьте как невидимые, но включите их в общий счёт.
Ответ. У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Невидимыми считаются рёбра, которые принадлежат кубу, но закрыты его видимыми гранями.
Условие. Прямоугольный параллелепипед составлен из прямоугольных граней. Сколько у него граней, рёбер и вершин? Нужно пересчитать элементы, включая те, которые могут быть скрыты на изображении.
У тела три пары противоположных граней: верхняя и нижняя, передняя и задняя, левая и правая. Значит, всего 6 граней.
У каждой из трёх длин тела есть четыре параллельных ребра. Поэтому рёбер 4 + 4 + 4 = 12.
Вершины находятся на концах рёбер и расположены по четыре сверху и снизу. Получаем 4 + 4 = 8 вершин.
Ответ. У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Видимая часть рисунка не меняет этого количества.
Условие. Дана фигура из многоугольников, соединённых сторонами. Определите, образуют ли они поверхность многогранника, и обоснуйте ответ. Одного факта соединения недостаточно: надо проверить всю границу фигуры.
Проверьте, соединены ли многоугольники именно сторонами, а не только отдельными точками или частями сторон.
Найдите внешние края получившейся конструкции. Если остался свободный край или отверстие, поверхность не замкнута.
Убедитесь, что каждый внешний участок согласуется с двумя соседними гранями, а поверхность полностью окружает некоторую область пространства.
Ответ. Фигура образует поверхность многогранника только при выполнении всех этих условий. Если хотя бы одна часть не закрыта, перед нами лишь набор многоугольников, а не многогранник.
Ошибка 1. Считать видимыми только линии, показанные сплошным рисунком. Так происходит потому, что скрытые рёбра закрыты гранями, но они не исчезают из самого тела. Проверьте мысленно заднюю часть многогранника и пересчитайте все рёбра.
Ошибка 2. Называть вершиной точку внутри грани. Её принимают за вершину из-за заметного угла изображения, хотя настоящая вершина возникает только при соединении рёбер. Проведите от точки все прилегающие стороны и убедитесь, что они сходятся именно там.
Ошибка 3. Принимать любой многоугольник на поверхности за ребро. Ребро — не область, а отрезок, который является общей стороной двух граней. Для проверки определите, какие две грани соприкасаются по этому отрезку.
Ошибка 4. Считать набор соединённых многоугольников многогранником без проверки замкнутости. Ученики видят несколько граней и забывают о возможном отверстии или свободном крае. Обойдите поверхность по границе и проверьте, полностью ли она ограничивает тело.
До изучения многогранников нужно знать многоугольник, его стороны и вершины, а также понимать, что геометрическое тело занимает часть пространства. Эти знания помогают переносить знакомые плоские понятия на объёмные фигуры.
Понятие многогранника понадобится при изучении призмы и пирамиды: их различают по расположению и форме граней. Оно также связано с объёмом пространственных тел, поскольку объём находят именно для тел, ограниченных определённой поверхностью.
Чем многогранник отличается от многоугольника?
Многоугольник — плоская фигура, состоящая из отрезков и ограничивающая часть плоскости. Многогранник — пространственное тело, поверхность которого составлена из многоугольников.
Может ли ребро принадлежать только одной грани?
Нет, у каждого ребра многогранника есть две соседние грани. Ребро и является их общей стороной.
Как найти невидимые рёбра на рисунке?
Сначала мысленно восстановите всё тело и посчитайте его элементы. Рёбра, закрытые ближайшими гранями, обычно изображают штриховыми линиями или определяют по симметрии фигуры.
Как отличить грань от ребра?
Грань — это целый многоугольник, часть поверхности тела. Ребро — только его сторона, общая для двух соседних граней.
Должна ли поверхность многогранника быть замкнутой?
Да, поверхность многогранника должна полностью ограничивать тело и не иметь отверстий. Набор многоугольников с незакрытой частью многогранником не считается.
Многогранник
