"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Распределительное свойство связывает умножение со сложением и вычитанием: число можно умножить на каждое слагаемое или член разности по отдельности. Это правило помогает раскрывать скобки, упрощать выражения и считать удобнее — например, заменить умножение на 99 умножением на 100 минус 1. Действие можно выполнять и наоборот: находить общий множитель и выносить его за скобки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределительное свойство умножения относительно сложения: произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое. Его записывают так: a(b + c) = ab + ac. Это правило позволяет заменить умножение на сумму двумя умножениями, которые иногда проще выполнить отдельно.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания: произведение числа на разность равно разности произведений этого числа на уменьшаемое и вычитаемое. Запись правила: a(b − c) = ab − ac. Оно помогает умножать числа на разности и не потерять знак минус перед вторым произведением.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное применение распределительного свойства, при котором общий множитель заменяет сумму или разность произведений. Например, ab + ac = a(b + c), потому что множитель a есть в обоих произведениях. Этот приём упрощает выражения и может сделать вычисление короче.
Рассмотрим умножение числа a на сумму b + c. Сумма состоит из двух частей, и взять её a раз — значит взять a раз каждую часть: b + c + b + c и так далее. Если собрать одинаковые части, получится ab + ac, поэтому a(b + c) = ab + ac. Например, 3 · (4 + 2) — это три четвёрки и три двойки, то есть 3 · 4 + 3 · 2.
Сумму можно записать и перед числом: (a + b)c = ac + bc. Причина в том, что переместительное свойство разрешает менять множители местами: (a + b)c = c(a + b). Теперь к сумме применяем распределительное свойство и умножаем c на оба слагаемых. Поэтому расположение суммы до или после множителя не меняет правила.
Для разности рассуждение похоже, но из одного количества убирают другое. Если каждую часть разности взять a раз, получится ab таких частей и нужно убрать ac; значит, a(b − c) = ab − ac. Второе произведение вычитается именно потому, что в исходной записи вычитается c, а умножение не меняет этот знак. Например, 4 · (10 − 3) = 4 · 10 − 4 · 3.
Распределительное свойство можно применить в обратном направлении. В выражении ab + ac множитель a повторяется в обоих произведениях, поэтому его можно записать один раз перед скобками: a(b + c). Внутри скобок остаются множители, на которые a умножали; для разности действует такой же порядок: ab − ac = a(b − c). Чтобы не ошибиться, мысленно раскройте получившиеся скобки и сравните результат с исходным выражением.
Свойство помогает выбирать удобный путь вычисления и преобразования выражений. Число 23 можно представить как 20 + 3, а 99 — как 100 − 1: тогда умножение превращается в действия с круглыми числами. При раскрытии скобок так получают сумму или разность произведений, а при упрощении выражения, наоборот, собирают повторяющийся множитель. Выбирайте тот вариант, который сокращает вычисления, и проверяйте, что каждый член скобок учтён.
| Случай | Запись | Пример |
|---|---|---|
| Умножение суммы на число | (a + b)c = ac + bc | (2 + 3) · 4 = 2 · 4 + 3 · 4 |
| Умножение числа на сумму | a(b + c) = ab + ac | 4 · (2 + 3) = 4 · 2 + 4 · 3 |
| Умножение разности на число | (a − b)c = ac − bc | (5 − 2) · 4 = 5 · 4 − 2 · 4 |
| Умножение числа на разность | a(b − c) = ab − ac | 4 · (5 − 2) = 4 · 5 − 4 · 2 |
| Вынесение общего множителя за скобки | ab + ac = a(b + c); ab − ac = a(b − c) | 3 · 5 + 3 · 2 = 3 · (5 + 2) |
Найдите в таблице нужный случай по знаку внутри скобок и расположению множителей. При сложении между произведениями остаётся плюс, а при разности — минус. Последняя строка показывает обратный ход: общий множитель ставят перед скобками.
Задача 1. Вычислите 7 · (20 + 3), используя распределительное свойство. Сначала заметим, что 20 + 3 равно 23, но можно умножить по отдельности на круглое число и на 3. Такой способ удобен, потому что произведение 7 · 20 легко найти, а затем прибавить небольшое число.
Ответ: 161. Можно проверить результат обычным умножением: 20 + 3 = 23, а 7 · 23 = 161. Совпадение подтверждает вычисления.
Задача 2. Вычислите 36 · 99, представив 99 как 100 − 1. Число 99 близко к круглой сотне, поэтому выгодно заменить его разностью. При таком выборе один результат получится умножением на 100, а из него нужно будет вычесть 36.
Ответ: 3564. Здесь важно не сложить произведения: вычитание единицы в записи 100 − 1 сохраняет знак минус и во втором произведении.
Задача 3. Упростите выражение 48 · 25 + 52 · 25 и найдите его значение. В обоих слагаемых есть множитель 25, значит, можно выполнить обратное распределение и вынести его за скобки. Так вместо двух умножений на 25 останется одно умножение суммы на 25.
Ответ: 2500. Проверка раскрытием скобок возвращает исходное выражение: 48 · 25 + 52 · 25. Значит, общий множитель вынесен правильно.
Умножают внешний множитель только на первое слагаемое: например, записывают a(b + c) = ab + c. Так происходит, когда скобки воспринимают как украшение и забывают, что сумма содержит оба слагаемых. Проверьте себя, указав стрелками, к каким членам скобок относится множитель; произведений должно быть столько же, сколько слагаемых.
При умножении на разность складывают произведения: a(b − c) превращают в ab + ac. Часто знак минус теряется, когда внимание сосредоточено на умножении. Подставьте простые числа, например a = 2, b = 5, c = 1: исходное значение равно 8, а запись с плюсом дала бы 12.
При вынесении общего множителя неверно записывают выражение в скобках, проверив только первый член. Ошибка возникает, если не разделить на общий множитель каждое слагаемое. Раскройте скобки: должны восстановиться все исходные произведения с правильными знаками.
Распределительное свойство применяют без учёта порядка действий: раскрывают не те скобки или теряют знак перед ними. Такое бывает, если не определить, к какой сумме или разности относится множитель. Сначала обозначьте всю часть, которую умножают, а после преобразования сравните знаки и слагаемые с исходной записью.
Для работы с распределительным свойством нужны таблица умножения, понимание умножения как сложения одинаковых слагаемых и знание порядка действий. Представление умножения через сложение объясняет, почему множитель относится к каждому члену суммы. Знание порядка действий помогает определить, какие скобки нужно раскрывать и как читать выражение.
Свойство пригодится в устных вычислениях, преобразовании числовых и буквенных выражений и решении уравнений. Например, раскрытие скобок помогает убрать их из выражения, а вынесение общего множителя — сделать запись короче. В уравнении такие преобразования позволяют перейти к более удобной форме, не меняя значения выражения.
Почему при умножении числа на сумму нужно умножать его на каждое слагаемое?
Сумма означает, что к одному количеству прибавили другое. Если умножить число на эту сумму, нужно взять столько раз каждое из двух количеств, поэтому получается сумма произведений: a(b + c) = ab + ac.
Можно ли применять распределительное свойство, если сумма записана после числа?
Да. По переместительному свойству множители можно поменять местами, поэтому (a + b)c = c(a + b) = ca + cb. Например, (3 + 4) · 5 = 3 · 5 + 4 · 5.
Как раскрыть скобки, если внутри стоит разность?
Умножьте внешний множитель на уменьшаемое и на вычитаемое, сохранив между произведениями знак минус. Получится a(b − c) = ab − ac.
Как понять, что общий множитель можно вынести за скобки?
Проверьте, есть ли в каждом слагаемом или члене разности одинаковый множитель. Запишите его перед скобками, а внутри оставьте результаты деления каждого члена на этот множитель; затем раскройте скобки для проверки.
Зачем представлять число в виде суммы или разности при вычислениях?
Так можно заменить неудобное действие двумя более простыми. Например, 99 удобно представить как 100 − 1, а затем применить распределительное свойство и вычесть из произведения на 100 одно слагаемое.
Распределительные свойства умножения
