Умножение на 1 000, 10 000

Определения и обозначения

Умножение на 1 000 — это нахождение произведения числа и тысячи. Тысяча равна 10 · 10 · 10, поэтому число можно последовательно умножить на 10 три раза. Это определение нужно, чтобы понимать происхождение трёх нулей в записи результата, а не просто запоминать их.

Умножение на 10 000 — это умножение числа на десять тысяч. Число 10 000 представляют как 10 · 10 · 10 · 10, значит, действие можно выполнить четырьмя последовательными умножениями на 10. Такая запись помогает объяснить, почему цифры переходят на четыре разряда.

Разряд числа — это место, которое занимает цифра в записи: единицы, десятки, сотни, тысячи и другие. Одна и та же цифра имеет разное значение в зависимости от положения, например 5 в числах 50 и 500. При умножении на 1 000 или 10 000 положение каждой цифры меняется, поэтому меняется и значение всего числа.

Натуральные числа — это числа, которые используют при счёте: 1, 2, 3 и так далее. В примерах рассматриваются записи таких чисел, в том числе чисел с нулями в конце, например 4 200. Это важно: нули исходного числа тоже являются частью его записи и должны остаться в произведении.

Как это устроено

Умножение на 1 000 можно заменить тремя умножениями на 10, потому что 1 000 = 10 · 10 · 10. Например, 24 · 10 = 240, затем 240 · 10 = 2 400, а 2 400 · 10 = 24 000. Каждое действие увеличивает число в десять раз и добавляет один разряд справа, поэтому за три действия получается увеличение в тысячу раз.

При умножении на 10 000 происходит то же самое, но шагов четыре. Равенство 10 000 = 10 · 10 · 10 · 10 показывает, что цифры числа последовательно сдвигаются на один разряд влево четыре раза. Поэтому итоговый сдвиг составляет четыре разряда, а число увеличивается в 10 000 раз.

Причина сдвига видна в разрядной записи. Например, в числе 3 507 цифра 3 обозначает три тысячи, а после умножения на 1 000 она обозначает три миллиона: 3 507 · 1 000 = 3 507 000. Каждая цифра получает значение в тысячу раз больше, потому что единицы становятся тысячами, десятки — десятками тысяч, а сотни — сотнями тысяч.

Отсюда получается правило приписывания нулей: при умножении натурального числа на 1 000 к его записи добавляют три нуля, а при умножении на 10 000 — четыре. Приём работает потому, что множители являются единицей с нулями и равны степеням десяти. Для других множителей, например 12 или 250, просто приписывать нули нельзя: сначала требуется выполнить обычное умножение.

Если исходное число уже оканчивается нулями, их нельзя убирать или считать нулями множителя. Например, в записи 420 · 1 000 сначала сохраняются цифры 4, 2 и 0, а затем добавляются ещё три нуля: 420 000. Проверка по порядку числа показывает, что результат действительно в тысячу раз больше 420; при умножении на 10 000 проверяют увеличение в десять тысяч раз.

Умножение натурального числа на 1 000 и 10 000

Сначала найдите множитель в первом столбце, затем определите число последовательных умножений на 10. После этого сдвиньте цифры на указанное количество разрядов и добавьте нули, не теряя нули исходного числа. Последний столбец помогает сравнить правило с готовым примером.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 24 · 1 000.

Нужно умножить натуральное число 24 на тысячу. Множитель 1 000 содержит три нуля, поэтому цифры числа 24 должны перейти на три разряда влево.

1. Записываем число 24.
2. Приписываем три нуля: 24 000.
3. Проверяем: 24 000 : 1 000 = 24, значит, число увеличилось ровно в тысячу раз.

Ответ: 24 000.

Задача 2. Вычислите 3 507 · 10 000.

Здесь множитель равен десяти тысячам, поэтому нужен сдвиг на четыре разряда. В числе 3 507 уже есть ноль между цифрами 5 и 7, и этот ноль обязательно сохраняется в записи результата.

1. Берём исходную запись 3 507.
2. Добавляем к ней четыре нуля, не меняя порядок исходных цифр: 35 070 000.
3. Проверяем порядок: 35 070 000 : 10 000 = 3 507.

Ответ: 35 070 000.

Задача 3. Для школьной поездки купили 125 коробок, в каждой по 1 000 листов бумаги. Сколько листов купили?

Количество листов в каждой коробке одинаково, поэтому нужно найти произведение числа коробок и количества листов в одной коробке. Получаем 125 · 1 000, то есть к записи 125 добавляем три нуля.

1. Составляем выражение: 125 · 1 000.
2. Вычисляем произведение: 125 000.
3. Проверяем смысл ответа: в 125 коробках листов должно быть больше, чем в одной коробке, ровно в 125 раз.

Ответ: 125 000 листов бумаги.

Типичные ошибки

При умножении на 1 000 иногда приписывают четыре нуля. Так происходит из-за смешения множителей 1 000 и 10 000. Проверьте число нулей у множителя: для тысячи нужен сдвиг на три разряда.

Некоторые ученики теряют нули исходного числа или приписывают нули не к полной записи. Например, в числе 3 507 нельзя убрать внутренний ноль. Записывайте сначала все цифры исходного числа, а затем добавляйте нули множителя.

Нельзя применять правило приписывания нулей к любому множителю. Оно подходит для 1 000 и 10 000, потому что это единица с нулями; при умножении на 12 или 250 нужно выполнять вычисление. Проверяйте, является ли множитель степенью десяти.

Ошибка в группировке цифр затрудняет чтение и проверку результата. Разделяйте запись на классы по три цифры справа налево: 35 070 000. Затем убедитесь, что произведение стало в 1 000 или 10 000 раз больше.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны таблица умножения, умножение на 10 и понимание разрядов натурального числа. Правило пригодится при устных вычислениях, переводе крупных количеств и решении задач, где число увеличивается в 1 000 или 10 000 раз. Связь с десятичными дробями проявляется в переносе запятой вправо на три или четыре разряда при умножении на эти числа.

Что запомнить

• Умножить число на 1 000 — значит умножить его на 10 три раза.
• Умножить число на 10 000 — значит умножить его на 10 четыре раза.
• При умножении натурального числа на 1 000 цифры сдвигаются на три разряда влево.
• При умножении натурального числа на 10 000 цифры сдвигаются на четыре разряда влево.
• В записи произведения учитывают все цифры исходного числа, в том числе его нули.
• Результат должен быть в 1 000 или 10 000 раз больше исходного числа.