Составные высказывания

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, фраза «число 6 делится на 2» истинна, а «число 6 делится на 5» ложна. Вопрос «Какое число делится на 2?» высказыванием не является: у него нельзя определить истинность. Это понятие нужно, чтобы отделять утверждения, которые можно проверять, от других предложений.

Составное высказывание — высказывание, полученное из простых высказываний с помощью слов «и», «или» или отрицания. Его части могут сообщать разные сведения об одном предмете: например, число может быть чётным и одновременно положительным. Понимание состава помогает не оценивать фразу целиком наугад, а проверять её части по очереди. Затем результат находят по правилу связки.

Конъюнкция — составное высказывание, образованное соединением двух высказываний словом «и». Например: «Число 8 чётное и больше 5». Союз соединяет условия так, что для истинности всей фразы должны выполниться оба. Это понятие полезно, когда в задаче требуется соблюдение сразу нескольких условий.

Дизъюнкция — составное высказывание, образованное соединением двух высказываний словом «или». Например: «Число 8 чётное или делится на 3». В математике обычно достаточно истинности хотя бы одной части, а истинность обеих тоже допустима. Дизъюнкция помогает описать ситуацию, в которой подходят разные варианты.

Как это устроено

Чтобы разобрать составное высказывание, выделяют входящие в него простые высказывания и определяют, каким словом они соединены. Это нужно потому, что смысл целой фразы зависит и от истинности каждой части, и от связки между ними. Например, во фразе «число 9 нечётное и делится на 3» можно отдельно проверить два утверждения. После этого становится ясно, какое правило применять.

Высказывание с союзом «и» истинно, только когда истинны обе его части; во всех остальных случаях оно ложно. Причина в том, что союз «и» требует одновременного выполнения обоих условий: если хотя бы одно не выполнено, всё требование нарушено. Например, если сказано «число чётное и больше 10», число 8 не подходит, даже если оно чётное. Поэтому для конъюнкции недостаточно найти одну истинную часть.

Высказывание с союзом «или» истинно, если истинна хотя бы одна часть; оно ложно, только когда ложны обе части. Такое правило позволяет перечислить допустимые варианты: достаточно выполнения первого условия, второго или сразу обоих. Например, фраза «число делится на 2 или на 3» подходит и числу, которое делится только на 2, и числу, которое делится на оба числа. В обычном математическом употреблении союз «или» не исключает одновременную истинность частей.

Отрицание высказывания образуют добавлением «не» или слов «неверно, что»; оно меняет истинность исходного высказывания на противоположную. Если исходная фраза истинна, её отрицание ложно, а если исходная ложна — отрицание истинно. Слова «неверно, что» удобно ставить перед целым составным высказыванием, чтобы было ясно, что отрицается именно оно. Например, отрицание фразы «число 7 чётное» — «неверно, что число 7 чётное».

Для составного высказывания истинность определяют по истинности его частей и правилу используемой связки. Сначала проверяют каждое простое утверждение, а затем применяют правило «и», «или» или отрицания. Такой порядок нужен, чтобы не переносить истинность одной части на всё высказывание без основания. Если часть нельзя проверить из-за нехватки сведений, окончательный ответ тоже может оказаться неизвестным.

Истинность составных высказываний

Сначала найди в таблице строку, соответствующую истинности обеих частей. Затем прочитай результат в столбце нужного союза. Таблица показывает, почему для «и» требуется истинность двух частей, а для «или» достаточно одной.

Разбор задач

Число 8 чётное и делится на 3

Условие. Определите, истинно или ложно высказывание «Число 8 чётное и делится на 3». Слово «и» показывает, что перед нами конъюнкция. Чтобы установить её истинность, проверим оба утверждения отдельно.

1. Проверяем первую часть: 8 делится на 2 без остатка, поэтому утверждение «число 8 чётное» истинно.
2. Проверяем вторую часть: 8 не делится на 3 без остатка, поэтому утверждение «число 8 делится на 3» ложно.
3. Для связки «и» обе части должны быть истинными. Одна из них ложна, значит, вся конъюнкция ложна.

Ответ: высказывание ложно. При союзе «и» истинность только одной части не спасает всё высказывание. Поэтому важно проверять каждое условие, даже если первое уже оказалось истинным.

Число 12 делится на 3 или на 5

Условие. Составьте высказывание из фраз «Число 12 делится на 3» и «Число 12 делится на 5», используя союз «или», и определите его истинность. Здесь нужно сохранить обе предложенные части и соединить их указанным словом. Затем проверим делимость и применим правило дизъюнкции.

1. Составляем фразу: «Число 12 делится на 3 или число 12 делится на 5».
2. Проверяем первую часть: 12 : 3 = 4, значит, она истинна.
3. Проверяем вторую часть: 12 не делится на 5 без остатка, поэтому она ложна.
4. Для «или» достаточно хотя бы одной истинной части. Первая часть истинна, следовательно, истинно всё составное высказывание.

Ответ: составленное высказывание истинно. Даже если бы обе части оказались истинными, фраза с «или» всё равно была бы истинной. Ложной она была бы только при двух ложных частях.

Отрицание высказывания о числе 15

Условие. Высказывание «Число 15 — простое и нечётное» ложно. Составьте его отрицание и определите истинность полученной фразы. Сначала заметим, что исходное предложение составное: в нём две части соединены союзом «и». Отрицание должно относиться ко всему исходному утверждению, а не только к слову «простое» или «нечётное».

1. Обозначаем исходную фразу словами «неверно, что» и сохраняем её целиком: «Неверно, что число 15 — простое и нечётное».
2. По условию исходное составное высказывание ложно.
3. Отрицание меняет истинность на противоположную. Значит, отрицание ложной фразы истинно.

Ответ: «Неверно, что число 15 — простое и нечётное» — истинное высказывание. В самом деле, 15 не является простым числом, хотя оно нечётное. Не нужно при этом заменять отрицание всего предложения отрицанием только одной его части.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать высказывание с «и» истинным, если истинна хотя бы одна часть. Так думают, потому что правило для «или» часто переносят на другой союз. Но «и» требует выполнения обоих условий, поэтому проверь каждую часть и убедись, что ни одна не ложна. Если хотя бы одна часть ложна, вся фраза с «и» ложна.

Вторая ошибка — понимать математическое «или» только как выбор одного из двух вариантов. В обычной речи союз иногда звучит именно так, поэтому возникает желание исключить случай, когда верны обе части. В математике достаточно истинности хотя бы одной части, включая случай, когда истинны обе. Для проверки вспомни: «или» ложно только при двух ложных частях.

Третья ошибка — оценивать составное высказывание, не проверив истинность простых частей. Например, знакомая или правдоподобная фраза может подтолкнуть к поспешному ответу. Разбей её на отдельные утверждения и проверь каждое по фактам или вычислениям. Только после этого выбирай правило для связки.

Четвёртая ошибка — отрицать только одно слово или одну часть, когда отрицание относится ко всей фразе. Это происходит, если не заметить границы составного высказывания. Для самопроверки прочитай отрицание с выражением «неверно, что» перед исходной фразой целиком и убедись, что смысл противопоставлен всему утверждению. После этого поменяй его истинность на противоположную.

Связь с другими темами

Перед изучением составных высказываний нужно уметь отличать высказывания от вопросов, команд и предложений, истинность которых нельзя определить. Иначе невозможно понять, какие именно части следует проверять и имеют ли они значение «истинно» или «ложно». Когда это различие освоено, можно исследовать, как связки меняют смысл нескольких утверждений. Навык пригодится при формулировании условий и выводов в задачах.

Логические связки помогают точно записывать требования: например, указать, что должны выполняться сразу два условия или подойдёт хотя бы один вариант. Поэтому тема связана с рассуждениями и решением задач, где нужно проверять условия и делать выводы. Она также служит основой для дальнейшего изучения логических операций. Умение разбирать фразы на части помогает избегать двусмысленности в математических рассуждениях.

Что запомнить

• Высказывание бывает истинным или ложным.
• Составное высказывание состоит из простых высказываний.
• «И» истинно, только если истинны обе части.
• «Или» истинно, если истинна хотя бы одна часть.
• Отрицание меняет истинность высказывания на противоположную.
• Сначала определяют истинность простых частей, затем — всего составного высказывания.