Истинные и ложные высказывания. Высказывания со словами «неверно, что»

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, фраза «Число 6 делится на 2» подходит под это определение. Вопрос «Сколько будет 6 + 2?» и просьба «Реши пример» высказываниями не являются: они не сообщают факт, который можно оценить как истинный или ложный. Это понятие помогает отделить утверждения от других предложений.

Истинное высказывание — высказывание, содержание которого соответствует действительности или математическим фактам. Фраза «У квадрата четыре стороны» истинна, потому что так устроена эта геометрическая фигура. Проверка содержания помогает понять, можно ли использовать утверждение в рассуждении. Истинность не зависит от того, нравится ли нам утверждение или кажется ли оно привычным.

Ложное высказывание — высказывание, содержание которого не соответствует действительности или математическим фактам. Например, фраза «Число 10 делится на 3» ложна, поскольку при делении остаётся остаток. Ложное утверждение всё равно остаётся высказыванием: о нём можно определить, что оно не соответствует фактам. Это отличает его от вопроса или предложения, смысл которого пока неясен.

Отрицание высказывания — новое высказывание со словами «неверно, что», сообщающее, что исходное высказывание ложно. Например, отрицание фразы «Число 8 чётное» звучит так: «Неверно, что число 8 чётное». Отрицание нужно, чтобы точно выразить несогласие с исходным утверждением, не подменяя его другим сообщением. Оно относится ко всему исходному высказыванию.

Как это устроено

Истинность определяют по смыслу высказывания и проверяемым фактам, а не по тому, насколько правдоподобно оно звучит. Например, утверждение «Число 21 делится на 7» можно проверить делением: 21 : 7 = 3, значит, оно истинно. В быту фразу «На улице идёт дождь» тоже проверяют наблюдением, а не догадкой по тёмным облакам. Такой подход нужен, чтобы отличать доказанный ответ от впечатления.

Чтобы составить отрицание, поставь перед всем исходным сообщением слова «неверно, что». В утверждении «У треугольника три стороны» речь идёт о треугольнике и числе его сторон; отрицание будет «Неверно, что у треугольника три стороны». Предмет сообщения остаётся тем же — треугольник, — но теперь утверждается, что исходный факт неверен. Так видно, что отрицают всё сообщение, а не меняют его тему.

Отрицание всегда имеет значение, противоположное исходному: истинное высказывание получает ложное отрицание, а ложное — истинное. Причина в том, что исходное утверждение и его отрицание говорят о взаимоисключающих возможностях. Например, если число действительно чётное, фраза «Неверно, что оно чётное» не соответствует факту. Если же число нечётное, исходное утверждение о его чётности ложно, а отрицание истинно.

Иногда нельзя получить правильное отрицание, просто добавив «не» внутрь предложения. Для фразы «Все стороны квадрата равны» замена на «Все стороны квадрата не равны» утверждает, что каждая сторона отличается от остальных, а это не то же самое, что отрицание исходной фразы. Достаточно, чтобы равенство нарушалось хотя бы у одной пары сторон, поэтому точнее сказать: «Неверно, что все стороны квадрата равны». При отрицании важно учитывать область действия слов: отрицается всё сообщение о всех сторонах.

Проверить пару можно так: выяснить, соответствует ли фактам исходное высказывание, а затем оценить отрицание. Ровно одно из них должно оказаться истинным, потому что отрицание сообщает, что исходное ложно. Они не могут быть одновременно истинными: тогда утверждалось бы и то, что факт верен, и то, что он неверен. Они также не могут быть одновременно ложными, иначе исходное высказывание оказалось бы не ложным, хотя его отрицание тоже не подтверждало бы обратного.

Высказывание и его отрицание

Сначала проверь исходное утверждение по фактам или вычислениям, а потом назови противоположное значение для его отрицания. Таблица показывает оба возможных случая. Если у пары получились одинаковые значения истинности, значит, стоит перепроверить формулировку или рассуждение.

Разбор задач

1. Определить, истинно или ложно высказывание «Число 12 делится на 3».

Нужно проверить утверждение, а не оценивать его на глаз. Для делимости на 3 можно выполнить деление или сложить цифры числа: если сумма делится на 3, то делится и само число. Проверим это одним из этих способов.

1. Разделим 12 на 3: 12 : 3 = 4.
2. Получилось целое число без остатка, значит, 12 делится на 3.
3. Сравним результат с содержанием фразы: оно соответствует вычислению.

Ответ: высказывание истинно. Результат деления подтверждает, что число 12 делится на 3 без остатка. Именно проверка содержания позволяет определить истинность.

2. Составить отрицание высказывания «Все стороны квадрата равны».

В исходной фразе говорится обо всех сторонах квадрата и утверждается, что они равны. Нужно отрицать всё это сообщение, а не заменить его утверждением о том, что все стороны разные. Поэтому сначала используем слова, которые охватывают высказывание целиком, а затем проверим полученную фразу.

1. Запишем исходное утверждение: «Все стороны квадрата равны».
2. Поставим перед ним слова «Неверно, что».
3. Получим отрицание: «Неверно, что все стороны квадрата равны».
4. По определению квадрата его стороны равны, поэтому исходная фраза истинна, а отрицание ложно.

Ответ: «Неверно, что все стороны квадрата равны»; это отрицание ложно. Формулировка «Все стороны квадрата не равны» не подходит: она отрицает равенство каждой стороны, а не исходное утверждение целиком. Важно проверить, сохранили ли мы предмет сообщения и правильно ли поставили отрицание.

3. Для высказывания «Число 15 простое» составить отрицание и определить истинность обоих высказываний.

Простым называют натуральное число больше 1, у которого ровно два натуральных делителя: 1 и оно само. Чтобы проверить утверждение про 15, достаточно найти ещё один делитель, кроме 1 и 15. Затем составим отрицание и сравним истинностные значения.

1. Проверим делители: 15 делится на 3 и на 5, поскольку 15 = 3 · 5.
2. У числа есть делители помимо 1 и самого числа, поэтому оно не является простым.
3. Исходное высказывание «Число 15 простое» ложно.
4. Составим отрицание: «Неверно, что число 15 простое». Оно истинно, так как исходное утверждение ложно.

Ответ: исходное высказывание ложно, его отрицание истинно. Делители 3 и 5 подтверждают, что 15 — составное число. Значения пары противоположны, как и должно быть у высказывания и его отрицания.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать высказыванием любое предложение, в том числе вопрос или приказ. Так бывает, когда обращают внимание только на то, что перед нами законченная фраза, а не на её смысл. Проверь себя вопросом: можно ли однозначно решить, истинно это предложение или ложно? Если нет, это не высказывание.

Вторая ошибка — называть ложным то, истинность чего пока неизвестна. Неизвестность означает, что утверждение ещё не проверили, а ложность — что оно не соответствует фактам. Например, если ты не знаешь, делится ли число на 7, нельзя сразу объявлять фразу ложной. Сначала выполни проверку или найди нужный факт.

Третья ошибка — считать отрицание истинным независимо от исходной фразы. Это происходит, если воспринимать слова «неверно, что» как отдельное подтверждение, не сверяясь с исходным утверждением. Проверь оба сообщения: истинному соответствует ложное отрицание, а ложному — истинное. Совпавшие значения означают, что в рассуждении есть ошибка.

Четвёртая ошибка — менять при отрицании лишь отдельное слово или часть сообщения. Тогда может получиться новое утверждение, которое не является отрицанием исходного. Например, фраза «Все дети пришли» и фраза «Все дети не пришли» не образуют пару высказывание — отрицание. Для самопроверки сформулируй отрицание через «неверно, что» и убедись, что оно относится ко всему исходному сообщению.

Связь с другими темами

До изучения темы полезно понимать смысл обычных предложений и уметь проверять простые утверждения о числах и фигурах. Для этого пригодятся вычисления, признаки делимости и знания о свойствах геометрических фигур. Отрицание помогает аккуратно формулировать противоположное высказывание, не изменяя его предмет. Это умение понадобится при изучении логических операций, рассуждений и доказательств, а также при проверке математических утверждений.

Что запомнить

• Высказывание — предложение, которому можно приписать истинность или ложность.
• Истинность высказывания определяется его содержанием.
• Отрицание выражают словами «неверно, что».
• Отрицание истинного высказывания ложно.
• Отрицание ложного высказывания истинно.
• У высказывания и его отрицания истинностные значения противоположны.