Умножение многозначного числа на трёхзначное

Определения и обозначения

Многозначное число — число, записанное несколькими цифрами, например 4 275. Каждая цифра показывает количество единиц своего разряда: в этом числе 4 тысячи, 2 сотни, 7 десятков и 5 единиц. Поэтому число можно представить как сумму разрядных слагаемых: 4 275 = 4 000 + 200 + 70 + 5. Такое представление помогает увидеть, из каких частей складывается число, и объясняет, почему при умножении учитывают положение каждой цифры.

Умножение столбиком — способ записывать вычисления, располагая числа одно под другим по разрядам. Множимое обычно пишут сверху, множитель — снизу, а промежуточные результаты размещают под множимым. Цифры единиц ставят под цифрами единиц, десятки — под десятками. Такая запись помогает не спутать разряды и затем правильно сложить полученные результаты.

Неполное произведение — результат умножения множимого на одну цифру множителя. Например, при вычислении 243 · 126 одним из неполных произведений будет 243 · 6. Если умножают на цифру десятков или сотен, учитывают не только её значение, но и разряд: в числе 126 цифра 2 означает 20, а цифра 1 — 100. Поэтому неполные произведения сдвигают в записи или дополняют нулями, чтобы сохранить их настоящее значение.

Как это устроено

Трёхзначный множитель можно разложить на разрядные слагаемые. Например, 126 = 100 + 20 + 6, поэтому умножение 243 на 126 равносильно сумме 243 · 100, 243 · 20 и 243 · 6. Это следует из распределительного свойства умножения: число умножают на каждое слагаемое, а результаты складывают. Разложение превращает одно сложное вычисление в три более простых умножения на одну цифру.

В столбик начинают с единиц, затем переходят к десяткам и сотням. Такой порядок удобен, потому что цифры множителя читаются справа налево именно в такой последовательности, а результаты можно сразу заносить в отдельные строки. Кроме того, при умножении на единицы пока не требуется сдвигать запись; для десятков и сотен сдвиг увеличивается постепенно. Если выполнять действия в этом порядке, проще заметить пропущенный разряд.

Неполное произведение от единиц записывают прямо под множимым, начиная с разряда единиц. Результат умножения на десятки сдвигают на одну позицию влево, так как он означает количество десятков; можно вместо сдвига поставить в конце один ноль. При умножении на сотни сдвиг делают на две позиции, или дописывают два нуля. Оба способа сохраняют разрядное значение результата, например 243 · 20 = 4 860, а 243 · 200 = 48 600.

После трёх умножений складывают неполные произведения. Складывать их нужно именно с теми разрядными сдвигами, которые соответствуют цифрам множителя: тогда сумма равна 243 · 6 + 243 · 20 + 243 · 100. По распределительному свойству это выражение равно 243 · (6 + 20 + 100), то есть 243 · 126. Значит, правильная запись разрядов и сложение всех строк дают произведение исходных чисел.

При умножении цифр иногда получается двузначное число. В текущий разряд записывают его единицы, а десятки переносят к следующему разряду и прибавляют к следующему произведению цифр. Чтобы проверить ответ, округляют числа и оценивают порядок результата: он должен быть близок к произведению округлённых множителей. Дополнительная проверка — поменять множители местами, потому что от перестановки множителей произведение не меняется.

Умножение многозначного числа на трёхзначное столбиком

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала найди неполное произведение единиц, затем десятков и сотен. Перед сложением проверь сдвиги строк или нули в их конце. Если в разряде множителя стоит ноль, результат этого шага равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 243 · 126. Разложим множитель: 126 = 100 + 20 + 6. Поэтому получим три неполных произведения, которые нужно записать с учётом разрядов и сложить.

1. Умножаем на единицы: 243 · 6 = 1 458. Записываем результат без сдвига.
2. Умножаем на десятки: 243 · 2 = 486, но цифра 2 означает 20. Записываем 4 860.
3. Умножаем на сотни: 243 · 1 = 243, а цифра 1 означает 100. Записываем 24 300.
4. Складываем: 1 458 + 4 860 + 24 300 = 30 618.

Ответ: 30 618. Все три слагаемых учтены, а сдвиг на каждом шаге соответствует разряду цифры множителя. Проверка разложением даёт то же выражение: 243 · 6 + 243 · 20 + 243 · 100.

Задача 2. Вычислите 1 508 · 237. В множимом есть ноль в разряде десятков, но это не мешает умножению: ноль просто не даёт дополнительных десятков. Разложим множитель: 237 = 200 + 30 + 7.

1. Умножаем на единицы: 1 508 · 7 = 10 556. При умножении отдельных цифр переносим десятки в следующий разряд.
2. Умножаем на десятки: 1 508 · 3 = 4 524, затем учитываем, что это 30, и получаем 45 240.
3. Умножаем на сотни: 1 508 · 2 = 3 016, а с учётом разряда сотен получаем 301 600.
4. Складываем неполные произведения: 10 556 + 45 240 + 301 600 = 357 396.

Ответ: 357 396. Ноль в множимом учитывается как отсутствие десятков, а переносы при умножении помогают правильно заполнить соседние разряды. Сумма трёх неполных произведений соответствует разложению 237 на 200, 30 и 7.

Задача 3. Вычислите 3 746 · 508 и проверьте результат оценкой. В множителе 508 цифра десятков равна нулю, поэтому отдельное произведение на десятки равно нулю. При этом сотни всё равно дают сдвиг на два разряда.

1. Умножаем на единицы: 3 746 · 8 = 29 968.
2. Умножаем на десятки: 3 746 · 0 = 0. Эту строку можно не записывать, но разряд сотен при следующем шаге пропускать нельзя.
3. Умножаем на сотни: 3 746 · 5 = 18 730, а так как цифра 5 означает 500, получаем 1 873 000.
4. Складываем: 29 968 + 0 + 1 873 000 = 1 902 968.

Ответ: 1 902 968. Для оценки округлим 3 746 примерно до 4 000, а 508 — до 500: 4 000 · 500 = 2 000 000. Полученный результат близок к этой оценке, значит, его величина выглядит правдоподобно.

Типичные ошибки

Неполное произведение от цифры десятков иногда записывают прямо под единицами. Так делают, когда смотрят только на цифру 2, но забывают, что в числе 126 она означает 20. Записывай строку со сдвигом на один разряд или добавляй ноль. Проверка: неполное произведение на десятки должно оканчиваться нулём.

При умножении на цифру сотен можно не сдвинуть результат на два разряда. Причина та же: цифру множителя принимают за её значение, хотя, например, 3 в разряде сотен означает 300. Сдвинь строку на две позиции или допиши два нуля. Проверь, что результат соответствует умножению на сотни, а не на единицы.

При умножении отдельных цифр легко пропустить перенос десятков или прибавить его не к тому разряду. Это происходит, если записывать результат целиком, не отделяя единицы от десятков. Записывай единицы в текущий разряд, а десятки переноси к следующему умножению. Для проверки повтори вычисление в этом разряде с учётом переноса.

Иногда при сложении пропускают одно из неполных произведений или неверно складывают столбцы. Обычно ошибка возникает из-за невнимательности к отдельным строкам либо из-за сдвига записей. Перед сложением пересчитай неполные произведения и проверь выравнивание разрядов. После сложения оцени порядок результата: он должен согласовываться с округлённым произведением множителей.

Связь с другими темами

Для такого умножения нужны два уже знакомых навыка: умножение многозначного числа на однозначное и сложение многозначных чисел столбиком. Каждое неполное произведение находят первым способом, а затем складывают их вторым. Поэтому, если вычисление затрудняет, полезно отдельно проверить эти действия и разрядную запись.

Алгоритм пригодится и в других темах. Уверенное умножение помогает выполнять вычисления с натуральными числами и решать задачи на произведение величин. Оно также связано с письменным делением: умножение помогает оценивать результаты деления и проверять его обратным действием.

Что запомнить

• Трёхзначный множитель раскладывают на сотни, десятки и единицы.
• Множимое по очереди умножают на каждую цифру множителя.
• Положение неполного произведения зависит от разряда цифры множителя.
• Неполные произведения складывают.
• Ноль в разряде множителя означает, что соответствующее неполное произведение равно нулю.
• Результат полезно проверять оценкой или умножением в обратном порядке.