Умножение многозначного числа на двузначное

Определения и обозначения

Умножить многозначное число на двузначное — значит найти произведение, в котором один множитель имеет несколько разрядов, а другой состоит из десятков и единиц. Например, в записи 324 · 12 число 324 умножают на двузначный множитель 12. Такое вычисление позволяет находить общее количество предметов в одинаковых группах, когда число предметов в каждой группе само по себе велико. Чтобы не выполнять длинное сложение, пользуются умножением.

Письменный алгоритм умножения — это последовательность действий для вычисления произведения столбиком. Числа записывают одно под другим, выполняют умножение по разрядам, а затем складывают полученные результаты. Алгоритм помогает действовать одинаково каждый раз и не терять цифры при сложных вычислениях. Особенно он полезен, когда при умножении появляются переносы.

Неполное произведение — результат умножения многозначного числа на одну цифру двузначного множителя, то есть на его разряд. Например, для 324 · 12 неполными произведениями будут 324 · 2 и 324 · 10. Каждое из них показывает вклад единиц или десятков в общий результат. Их находят отдельно, чтобы сохранить правильное значение каждого разряда.

При умножении столбиком цифры записывают так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и так далее; обычно числа выравнивают по правому краю. Это нужно, потому что вычисления ведутся в разрядных столбцах, а не просто с отдельными цифрами. Если начать записи не с того края, единицы могут оказаться под десятками и значение результата изменится. Поэтому множители сначала аккуратно располагают друг под другом.

Как это устроено

Двузначный множитель можно представить в виде суммы десятков и единиц. Например, 37 = 30 + 7, поэтому 648 · 37 = 648 · (30 + 7) = 648 · 30 + 648 · 7. Здесь применяется распределительное свойство умножения: число умножают на каждое слагаемое, а результаты складывают. Так сложное действие превращается в два знакомых умножения.

Сначала умножают на цифру единиц, потому что она стоит в разряде единиц и даёт первое неполное произведение без сдвига. Затем умножают на цифру десятков: её значение нужно учитывать как число десятков, а не как отдельные единицы. В записи столбиком это действие выполняют после первого, чтобы неполные произведения шли в порядке разрядов. При умножении справа налево переносы из предыдущего столбца прибавляют к следующему результату.

Второе неполное произведение начинают записывать под столбцом десятков, на одну позицию левее первого. Причина в том, что цифра десятков множителя означает число, кратное десяти: например, умножение на 3 десятка — это умножение на 30. Если записать полученное число без сдвига, оно будет прочитано как количество единиц и окажется в десять раз меньше нужного. Сдвиг можно показать пустой клеткой или поставить ноль в разряде единиц, если так удобнее.

Когда оба неполных произведения готовы, их складывают столбиком, начиная с единиц. В каждом столбце складывают цифры и перенос, если сумма получилась двузначной; перенесённую единицу прибавляют в следующем разряде. После этого полезно проверить число разрядов и порядок величины: например, произведение 648 · 37 должно быть больше 648 · 30 и меньше 648 · 40. Такая оценка помогает заметить грубую ошибку в вычислении.

Столбик — это не новый способ умножения, а удобная запись вычисления в уме по разрядам. Когда число умножают на цифру единиц, получают вклад единиц; при умножении на цифру десятков — вклад десятков, уже с учётом их разрядного значения. Запись каждого действия в своей строке не даёт смешать эти части. В конце их складывают, как и при разложении множителя на сумму.

Письменное умножение на двузначное число

Таблица показывает порядок действий и то, за чем следить на каждом шаге. Пользуйся ею как проверочным списком: переходи к следующей строке, только закончив предыдущую. Если ответ не сходится, сначала проверь сдвиг второго произведения и переносы.

Разбор задач

Вычислите 324 · 12, записав умножение столбиком. Множитель 12 состоит из 2 единиц и 1 десятка, поэтому ожидаются два неполных произведения. Первое относится к единицам, второе — к десяткам; только после этого результаты складываются.

1. Умножаем на единицы: 324 · 2 = 648. Записываем 648 первым неполным произведением, начиная с разряда единиц. Переноса здесь нет.

2. Умножаем на десятки: 324 · 1 = 324. Поскольку эта цифра стоит в разряде десятков, записываем результат со сдвигом на один столбец влево: он означает 3240.

3. Складываем неполные произведения: 648 + 3240 = 3888. Проверяем: 324 · 10 = 3240, а умножение на 12 должно дать немного больше. Ответ: 3888.

Теперь вычислим 648 · 37. Здесь будут переносы при умножении на единицы, а для десятков важно не потерять сдвиг. Раскладываем множитель: 37 = 30 + 7.

1. Сначала 648 · 7: 8 · 7 = 56, пишем 6, переносим 5; 4 · 7 + 5 = 33, пишем 3, переносим 3; 6 · 7 + 3 = 45. Первое неполное произведение — 4536.

2. Умножаем 648 на цифру десятков 3: 648 · 3 = 1944. Это произведение относится к десяткам, поэтому записываем его со сдвигом: 19440. Сдвиг показывает, что цифра 3 в множителе означает 30.

3. Складываем: 4536 + 19440 = 23976. Оценка подтверждает ответ: 648 · 30 = 19440, а умножение на 37 должно быть больше. Ответ: 23976.

Вычислим 2406 · 58 и проверим результат оценкой. Ноль в числе 2406 занимает разряд десятков, поэтому при умножении нельзя пропускать этот столбец. Разложение множителя: 58 = 50 + 8.

1. Умножаем на единицы: 2406 · 8. Справа налево получаем 6 · 8 = 48, пишем 8 и переносим 4; 0 · 8 + 4 = 4; 4 · 8 = 32, пишем 2 и переносим 3; 2 · 8 + 3 = 19. Первое произведение — 19248.

2. Умножаем на десятки: 2406 · 5 = 12030, затем учитываем разряд десятков множителя и получаем 120300. Второе неполное произведение записываем со сдвигом на один разряд влево. Ноль в исходном числе при этом сохраняет своё место.

3. Складываем: 19248 + 120300 = 139548. Для оценки округлим 2406 примерно до 2400, а 58 — примерно до 60: произведение около 144000. Ответ 139548 близок к оценке и имеет подходящий порядок величины.

Типичные ошибки

Если второе неполное произведение записать без сдвига, десятки множителя будут посчитаны как единицы. Так ошибаются, когда ориентируются только на цифру, забывая её место в числе. Проверь себя: второй результат должен соответствовать умножению на число, кратное десяти; сравни его с оценкой, например произведением на 30.

Складывать неполные произведения до завершения умножения нельзя: в строках могут потеряться цифры или переносы. Такая спешка часто возникает, когда начинают складывать отдельные результаты, не записав каждый целиком. Сначала проверь, что оба произведения вычислены и записаны правильно, и лишь затем складывай их столбиком.

Пропуск нуля в многозначном числе меняет разряды следующих цифр. Например, в числе 2406 ноль показывает, что десятков нет, но сотни и тысячи остаются на своих местах. Чтобы проверить себя, перепиши исходное число и проследи, чтобы каждый его разряд участвовал в умножении. Не удаляй ноль до окончания вычислений.

При переносе нельзя записывать только цифру единиц и забывать десятки, которые нужно прибавить к следующему разряду. Ошибку допускают, если торопятся или не отмечают перенос. Проверяй каждый столбец отдельно: произведение с прежним переносом должно быть учтено до записи следующей цифры. При сложении неполных произведений перенос также обязательно прибавляют.

Связь с другими темами

Чтобы освоить этот алгоритм, нужно уметь умножать многозначное число на однозначное и складывать столбиком: эти действия составляют его основу. Также необходимо понимать разрядный состав числа и знать, что двузначный множитель можно разложить на десятки и единицы. Позже тот же принцип используют при умножении на многозначные числа, разбивая множитель на разрядные слагаемые. Он помогает решать практические задачи о стоимости нескольких одинаковых покупок, расстоянии и других величинах.

Что запомнить

• Двузначный множитель можно представить как сумму десятков и единиц.
• Сначала умножают на цифру единиц, затем — на цифру десятков.
• Второе неполное произведение записывают со сдвигом на один разряд влево.
• Итоговое произведение получают сложением неполных произведений.
• Перенос из одного разряда обязательно учитывают в следующем действии.
• Результат полезно проверить оценкой и обратным действием.