Сравнение многозначных чисел

Определения и обозначения

Многозначное число — число, запись которого содержит две или более цифры. Значение каждой цифры зависит от её места: например, в числе 572 цифра 5 обозначает пять сотен, а в числе 527 — пять сотен тоже, но остальные цифры стоят иначе. Это помогает понять, почему порядок цифр важен при сравнении.

Разряд числа — место цифры в его записи, соответствующее единицам, десяткам, сотням и другим разрядным единицам. Разряды считают справа налево: первым идут единицы, затем десятки, сотни, тысячи. Понимание разрядов позволяет сравнивать числа по количеству единиц каждого порядка, а не по отдельным цифрам без учёта их места.

Сравнение чисел — установление того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Результат сравнения помогает выбрать нужное число или расположить несколько чисел в определённом порядке. Чтобы сделать это правильно, надо учитывать количество цифр и их разрядное значение.

Знаки сравнения >, < и = обозначают отношения «больше», «меньше» и «равно». Запись 8 > 3 читают «восемь больше трёх», 3 < 8 — «три меньше восьми», а 8 = 8 — «восемь равно восьми». У знаков > и < широкая сторона обращена к большему числу, а острый угол — к меньшему.

Как это устроено

Если в одном числе цифр больше, то больше и само число. Например, любое четырёхзначное число начинается как минимум с тысячи, а любое трёхзначное число не достигает тысячи. Значит, старший разряд первого числа имеет больший порядок, и число с большим количеством цифр окажется больше. Это правило применяют до сравнения отдельных цифр.

Если цифр в числах одинаковое количество, начинают сравнение слева, со старшего разряда. Старший разряд показывает самое крупное количество единиц, поэтому различие в нём важнее всех последующих. Если цифры там равны, переходят к следующему разряду справа; так проверяют тысячи, сотни, десятки и единицы по порядку.

Достаточно найти первую пару разных цифр, потому что все предыдущие разряды в обоих числах одинаковы и дают равные вклады в их значения. В первом различающемся разряде одно число содержит больше единиц этого порядка, чем другое. Разница не может быть перекрыта всеми цифрами справа: единица старшего разряда равна десяти единицам следующего, поэтому старший разряд главнее.

Если совпали цифры во всех разрядах, записи обозначают одно и то же число, значит, числа равны. Нули перед первой ненулевой цифрой не меняют значение: например, 0046 и 46 дают одинаковое количество единиц, десятков и сотен. Такие нули лишь добавлены слева и не создают нового разряда с ненулевым количеством единиц.

Несколько чисел можно расположить по возрастанию — от меньшего к большему — или по убыванию — от большего к меньшему. Сначала определяют, какие числа крупнее по количеству цифр, затем при равном количестве цифр сравнивают разряды слева направо. После расстановки полезно проверить соседние числа: при возрастании каждое следующее должно быть больше предыдущего, а при убывании — меньше.

Способы сравнения многозначных чисел

Сначала выбери строку, которая соответствует условию: различается ли количество цифр или оно одинаковое. Если цифр поровну, сравнивай разряды по порядку, а не отдельные цифры наугад. Для упорядочивания повтори попарное сравнение и проверь направление ряда.

Разбор задач

Задача. Сравните 8 704 и 962. Здесь записи имеют разное количество цифр, поэтому не нужно сразу разбирать единицы и десятки. Сначала определим, сколько цифр у каждого числа, а затем применим правило о старшем разряде.

1. В записи 8 704 четыре цифры, а в записи 962 — три.
2. Четырёхзначное число имеет разряд тысяч, а трёхзначное число меньше тысячи.
3. Следовательно, 8 704 больше 962, и знак направляем открытой стороной к 8 704.

Ответ: 8 704 > 962.

Задача. Сравните 53 218 и 53 281. В обоих числах пять цифр, поэтому подсчёт цифр результата не даёт. Будем двигаться слева направо: пока цифры равны, они показывают одинаковое количество единиц соответствующих старших разрядов.

1. В разряде десятков тысяч стоят 5 и 5 — цифры равны.
2. В разряде тысяч стоят 3 и 3 — равны; в разряде сотен стоят 2 и 2 — тоже равны.
3. В разряде десятков сравниваем 1 и 8. Так как 8 > 1, число 53 281 больше; единицы здесь уже не сравниваем.

Ответ: 53 218 < 53 281.

Задача. Расположите 407 015, 47 105, 407 150 и 407 051 в порядке убывания. Число 47 105 состоит из пяти цифр, остальные числа — из шести, поэтому оно будет последним. Между тремя шестизначными числами сравним разряды слева направо.

1. У чисел 407 015, 407 150 и 407 051 совпадают сотни тысяч, десятки тысяч и тысячи: цифры 4, 0 и 7.
2. В разряде сотен у 407 150 стоит 1, а у двух других — 0, поэтому 407 150 — наибольшее.
3. У 407 051 и 407 015 сотни равны; в разряде десятков стоят 5 и 1. Значит, 407 051 больше 407 015.
4. Проверяем ряд: 407 150 > 407 051 > 407 015 > 47 105.

Ответ: 407 150, 407 051, 407 015, 47 105.

Типичные ошибки

Ошибка — сравнивать числа по последним цифрам или складывать цифры, чтобы получить «величину» числа. Так можно сделать, если забыть, что положение цифры задаёт её разряд и значение. Начинай с количества цифр, а при равной длине — со старшего разряда слева; для проверки найди первую разницу именно там.

Иногда считают, что число обязательно больше, если в нём есть более крупная отдельная цифра. Но цифра справа может стоять в младшем разряде, тогда как решающим будет меньшее число в старшем разряде. Сравнивай не любую пару цифр, а первую различающуюся пару слева: предыдущие разряды должны совпадать.

Ещё одна ошибка — начинать сравнение с единиц, потому что они стоят в конце записи и кажутся удобными. Так можно пропустить различие в тысячах или сотнях, которое уже определяет результат. Проверяй разряды слева направо: переходи вправо только тогда, когда все более старшие цифры равны.

Знаки > и < легко перепутать, если ориентироваться только на их наклон. Ученик может поставить острый угол к большему числу, хотя он должен указывать на меньшее. Чтобы проверить запись, прочитай её вслух и запомни: открытая сторона смотрит на большее число, а вершина — на меньшее.

Связь с другими темами

Для сравнения нужно знать разрядный состав числа и понимать, что цифра показывает количество единиц именно своего разряда. Поэтому сначала полезно уверенно различать единицы, десятки, сотни, тысячи и другие разрядные единицы. Основа этого правила — десятичная система счисления: десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего, более старшего разряда.

Сравнение пригодится, когда нужно упорядочить числа, оценить, правдоподобен ли результат вычисления, или сопоставить величины в задаче. Например, можно определить, какое расстояние больше, какой предмет тяжелее или какая сумма денег меньше. Навык также помогает быстро проверить, не записан ли ответ на вычисление с ошибкой в разряде.

Что запомнить

• У числа с большим количеством цифр значение больше.
• Если цифр поровну, сравнивают их слева направо.
• Первая различающаяся цифра определяет результат сравнения.
• Если все цифры совпадают, числа равны.
• Знак > означает «больше», знак < — «меньше», знак = — «равно».
• При упорядочивании чисел проверяют их по тому же правилу попарного сравнения.