"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Доля числа — это одна из равных частей целого, а несколько долей — несколько таких частей. Чтобы найти одну n-ю долю, число делят на n; чтобы найти m/n числа, результат умножают на m. Это правило помогает вычислять части величин и решать практические задачи: например, находить, сколько предметов раздали или какую часть пути прошли. Главное — не перепутать роли числителя и знаменателя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Доля числа — одна из равных частей целого. Если целое разделили на n одинаковых частей, каждая часть называется одной n-й долей. Например, одну пятую числа 35 находят делением 35 на 5: так мы узнаём величину одной части, а не всего числа.
Несколько долей числа — несколько одинаковых частей, взятых от целого. Если одна доля равна 7, то три такие доли составляют 7 · 3. Это понятие нужно, когда требуется узнать не размер одной части, а размер группы частей, например количество предметов, которое раздали.
Дробь m/n обозначает несколько долей числа: знаменатель n показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель m — сколько таких частей взято. Например, 3/5 числа означает три доли, каждая из которых равна одной пятой этого числа. Такая запись коротко передаёт и способ разделения целого, и число выбранных частей.
Представим плитку шоколада, разделённую на 4 одинаковых квадратика. Один квадратик — одна четвёртая плитки, потому что целое разделили на четыре равные части и взяли одну. Если взять 3 квадратика, это будут три четвёртых плитки. Равенство частей важно: если куски разные, каждый из них уже нельзя считать одной и той же долей целого.
Чтобы найти одну n-ю долю числа, исходное число делят на n. Причина в том, что деление на равное число частей как раз показывает размер одной части. Например, 20 : 4 = 5, значит одна четвёртая от 20 равна 5. Если умножать на 4, число увеличится, хотя одна доля должна быть меньше целого.
Чтобы найти m долей, сначала определяют значение одной доли, а затем берут её m раз. Поэтому m/n числа a находят по правилу (a : n) · m: деление даёт одну n-ю часть, а умножение собирает нужное количество таких частей. Например, для трёх пятых сначала находят одну пятую, а потом складывают три одинаковые части, что равносильно умножению на 3.
Вычисления удобно выполнять по порядку: сначала разделить число на знаменатель, затем умножить результат на числитель. Если 72 карандаша делят на 8 равных частей, в каждой части будет 9 карандашей; пять таких частей — это 9 · 5. Иногда можно сначала умножить исходное число на числитель и затем разделить на знаменатель: значение останется тем же, но первый порядок часто помогает избежать больших промежуточных чисел.
Результат проверяют по смыслу задачи. Если взяли несколько долей из n равных частей, ответ должен быть таким же, как размер соответствующего количества частей; например, пять восьмых — меньше целого, поскольку взяли пять частей из восьми. Также можно разделить результат на число взятых долей: должно получиться значение одной доли. Такая проверка помогает заметить ошибку в делении или умножении.
В таблице собраны действия для одной доли и для нескольких долей. В последнем случае дробь показывает, сколько равных частей взято из общего числа частей. Подставляй в правило исходное число и выполняй вычисления в указанном порядке.
| Что требуется найти | Действие | Пример |
|---|---|---|
| Одну из n равных долей числа a | a : n | Одна пятая от 35: 35 : 5 = 7 |
| m долей числа a | (a : n) · m | Три доли, если одна равна 8: 8 · 3 = 24 |
| Несколько долей числа, записанных дробью m/n | (a : n) · m | 3/5 от 40: (40 : 5) · 3 = 24 |
Найти одну пятую часть числа 35. Слово «пятая» означает, что целое разделили на 5 равных частей, а нужна только одна. Поэтому здесь не требуется умножать на число частей: надо определить величину одной части делением.
Ответ: одна пятая часть числа 35 равна 7.
Найти три пятых числа 40. Дробь 3/5 означает, что число 40 сначала делят на пять равных частей, а затем берут три из них. Если найти только одну пятую, получится размер одной части, но не всего требуемого количества частей.
Ответ: три пятых числа 40 равны 24.
В коробке было 72 карандаша. Ученикам раздали 5/8 всех карандашей. Сколько карандашей раздали? Знаменатель 8 подсказывает, что нужно определить карандаши в одной из восьми равных частей, а числитель 5 — взять пять таких частей. Поскольку речь идёт о предметах, ответ должен быть целым количеством карандашей.
Ответ: ученикам раздали 45 карандашей.
Первая ошибка — умножить исходное число на знаменатель. Так поступают, если воспринимают знаменатель как количество частей, которые нужно взять, но он показывает, на сколько частей делят целое. Проверь себя: одна доля должна быть меньше исходного числа, поэтому раздели его на знаменатель и сравни результат с целым.
Вторая ошибка — делить исходное число на числитель. Числитель говорит не о том, на сколько частей делят целое, а сколько частей берут. Если в дроби 3/5 числа 40 разделить 40 на 3, полученное число не будет размером одной пятой; сначала нужно делить на 5. Проверить себя можно, назвав вслух значение каждого числа в дроби.
Третья ошибка — найти одну долю и остановиться. Например, в задаче про три пятых числа 40 ответ 8 показывает лишь одну пятую, потому что 40 : 5 = 8. После этого нужно умножить 8 на числитель 3. Проверка простая: число взятых долей должно совпадать с числителем дроби.
Четвёртая ошибка — перепутать числитель и знаменатель, особенно при чтении дроби словами. В записи 3/5 три — числитель, а пять — знаменатель; значит, сначала целое делят на пять и затем берут три части. Чтобы не ошибиться, проговори действие перед вычислением: «пять равных частей, беру три». Затем сравни результат с исходным числом и оцени, соответствует ли он задаче.
Для вычисления долей нужно уметь делить и умножать натуральные числа. Также важно понимать обыкновенную дробь: её знаменатель указывает число равных частей, а числитель — число взятых частей. Если эти смыслы знакомы, правило нахождения долей становится последовательностью уже известных действий.
Нахождение нескольких долей используют в задачах о частях величины: например, чтобы вычислить, сколько предметов составляет данная часть набора или какую часть расстояния прошли. Это правило пригодится и при вычислении значений выражений с дробями. В прикладной задаче к вычислениям добавляют единицы измерения и проверяют, отвечает ли найденное число на вопрос.
Почему при нахождении доли числа нужно делить на знаменатель?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. Поэтому, чтобы узнать размер одной части, исходное число делят на знаменатель.
Что показывает числитель дроби при нахождении нескольких долей?
Числитель показывает, сколько равных долей нужно взять. Сначала находят одну долю, а затем умножают её значение на числитель.
Можно ли сначала умножить число на числитель, а потом разделить на знаменатель?
Да, если вычисления удобны и произведение можно разделить без затруднений. Например, для 5/8 от 72 можно вычислить 72 · 5 : 8, но чаще проще сначала разделить 72 на 8.
Как найти несколько долей числа, если одна доля получается нецелой?
Можно записать размер одной доли обыкновенной дробью и умножить его на числитель. Например, одна треть числа 5 равна 5/3, а две трети — 5/3 · 2 = 10/3.
Как проверить, правильно ли найдены несколько долей числа?
Сравните результат с исходным числом и с размером одной доли: взятые доли должны составлять нужную часть целого. Если взяли меньше долей, чем всего равных частей, результат должен быть меньше исходного числа.
Нахождение нескольких долей числа
