§ 1. Натуральные числа и шкалы 

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов. Натуральный ряд начинается с единицы и продолжается без конца: 1, 2, 3, 4 и так далее. Такие числа помогают назвать количество предметов и сравнить количества.

Цифра — знак, с помощью которого записывают число. Всего есть десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Цифра — как буква в записи, а число может быть записано одной или несколькими цифрами; это различие нужно, чтобы верно читать и составлять записи.

Координатный луч — луч, на котором выбраны начало отсчёта и единичный отрезок, то есть отрезок, длина которого принята за одну единицу. Точкам луча соответствуют числа: начало обозначают числом 0, а дальше отмечают числа по порядку. Луч нужен, чтобы изображать числа и видеть, какое из них больше.

Шкала — ряд отметок, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Значения отметок показывают, сколько единиц величины соответствует каждой позиции. По шкале можно определить показание прибора или измеряемую величину, если знать цену деления и место указателя.

Как это устроено

Натуральные числа складываются в последовательность для счёта. Когда предметы считают по одному, после каждого названного количества называют следующее число, поэтому оно на единицу больше предыдущего. У любого числа, кроме единицы, есть предыдущее: например, перед 8 стоит 7. Ряд не заканчивается, потому что к любому числу можно прибавить единицу и получить следующее.

Число записывают с помощью цифр, но одинаковая цифра может обозначать разное количество в зависимости от места. Например, в записи 222 первая цифра означает две сотни, вторая — два десятка, третья — две единицы. Места цифр называют разрядами, а группы разрядов — классами: единиц, тысяч и так далее. При чтении многозначного числа удобно мысленно разделять его на классы справа налево; нули внутри записи сохраняют места и показывают, что соответствующий разряд пуст.

Чтобы построить координатный луч, сначала отмечают начало, которому соответствует 0, и выбирают единичный отрезок. Затем этот отрезок откладывают одинаковыми копиями вправо: следующая отметка получает координату 1, следующая — 2. Равные промежутки нужны, чтобы расстояние на луче соответствовало разности чисел. Поэтому большая координата расположена правее меньшей.

Координату точки находят, считая равные части от начала отсчёта, а не от первой отметки после него. Если единичный отрезок разделён на несколько одинаковых частей, сначала определяют значение одной части — цену деления. Например, при делении единичного отрезка на 5 частей одно деление равно одной пятой единицы. Точка на тринадцатом таком делении отстоит от нуля на 13/5 единицы.

Шкала устроена похоже на координатный луч, но на ней могут быть указаны значения измеряемой величины: например, температура или длина. Чтобы прочитать показание, находят разность значений двух подписанных отметок и делят её на число промежутков между ними. Так получают цену деления; затем считают промежутки до указателя и прибавляют их значение к отметке, от которой ведут отсчёт. Считать нужно именно промежутки, потому что они показывают, сколько шагов разделяет отметки.

Как читать координатный луч и шкалу

Эта таблица подсказывает, с чего начать чтение луча или шкалы и что именно нужно найти. Сначала установите начало отсчёта и единичный отрезок либо две отметки с известными значениями. Затем определите цену одного промежутка и отсчитайте нужное количество шагов.

Разбор задач

Задача 1. Запишите число, состоящее из 4 сотен, 2 десятков и 7 единиц. Нужно расположить цифры по разрядам: сотни стоят на третьем месте справа, десятки — на втором, единицы — на первом. Затем проверим, что каждое указанное количество занимает своё место.

1. В разряд сотен записываем цифру 4.
2. В разряд десятков ставим цифру 2, а в разряд единиц — цифру 7.
3. Читаем запись слева направо: четыреста двадцать семь.

Ответ: 427.

Задача 2. Единичный отрезок координатного луча разделён на 5 равных частей. Найдите координату точки на 13-м делении от начала луча. Одного полного единичного отрезка здесь достаточно на пять делений, поэтому цена одного деления равна 1/5. Чтобы узнать координату, нужно выяснить, сколько таких частей составляют тринадцать делений.

1. Записываем цену одного деления: 1/5 единицы.
2. Умножаем цену деления на число делений: 13 · 1/5 = 13/5.
3. Проверяем: 13 делений — это две полные единицы и ещё 3/5 единицы.

Ответ: координата точки равна 13/5, или 2 3/5.

Задача 3. На шкале отметки 20 и 50 разделены на 6 равных промежутков. Указатель стоит на третьем промежутке после отметки 20. Сначала найдём, насколько меняется значение за один промежуток, а затем прибавим три таких шага к 20. Между подписанными отметками важно считать промежутки, а не количество отметок.

1. Находим разность значений: 50 − 20 = 30.
2. Делим её на 6 промежутков: 30 : 6 = 5. Цена деления равна 5.
3. За три промежутка значение увеличивается на 3 · 5 = 15; прибавляем его к 20.

Ответ: показание шкалы равно 35.

Типичные ошибки

Путают цифру и число, считая эти слова названиями одного и того же. Так происходит потому, что однозначное число можно записать одной цифрой: например, 7. Проверка простая: в числе 427 три цифры, но само число одно; цифры лишь составляют его запись.

При чтении многозначного числа путают разряды или пропускают нули внутри записи. Часто взгляд замечает только ненулевые цифры, хотя ноль тоже занимает место и влияет на разряды соседних цифр. Разбейте число справа налево на классы и проговорите разряды; например, в 407 ноль означает отсутствие десятков, а не отсутствие цифры.

Иногда координату начинают отсчитывать от первой отметки после начала луча. Ошибка возникает, когда за начало отсчёта принимают первое деление, хотя нулю соответствует отдельная начальная точка. Проверьте себя: от нуля до первой отметки проходит ровно одно деление, а не ноль делений.

При нахождении цены деления могут разделить разность значений на количество отметок, а не промежутков. Отметок всегда на одну больше, чем промежутков между ними: например, между двумя крайними отметками есть две отметки, но только один промежуток. Пересчитайте именно шаги от одной известной отметки до другой и только после этого выполняйте деление.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно уметь считать предметы, сравнивать числа и складывать натуральные числа. Эти навыки помогают понять порядок чисел на луче и вычислить показание шкалы. Если сложение пока даётся трудно, можно проверить вычисления обратным действием — вычитанием.

Координатный луч помогает сравнивать числа: точка с большей координатой находится правее. Позже координаты пригодятся для обозначения положения точек и решения задач на движение. В таких задачах расстояние часто связывают с числом шагов или единичных отрезков.

Шкалы встречаются в измерениях длины, времени и температуры, а также на разных приборах. Умение находить цену деления позволяет считывать не только подписанные значения, но и промежуточные показания. Поэтому одинаковый способ рассуждения применяют к разным измеряемым величинам.

Что запомнить

• Натуральные числа используют для счёта.
• Для записи чисел используют десять цифр: от 0 до 9.
• Число может состоять из одной или нескольких цифр.
• На координатном луче начало отсчёта соответствует числу 0.
• Цена деления — значение одного промежутка между соседними отметками.
• Координату точки определяют отсчётом равных частей от начала луча.