1. Обозначение натуральных чисел

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов и для указания их порядка. Например, можно насчитать пять яблок или сказать, что книга стоит третьей на полке. Натуральные числа помогают сообщить, сколько предметов есть и какое место занимает предмет при упорядочивании.

Цифра — знак, с помощью которого записывают число. Используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Цифры нужны, чтобы записывать числа коротко и понятно: например, число пять записывают цифрой 5.

Десятичная запись числа — это запись числа с помощью цифр от 0 до 9. Она называется позиционной: значение цифры зависит от того, где она стоит. Это позволяет записывать очень большие числа, пользуясь всего десятью разными знаками.

Разряд числа — место, которое занимает цифра, и соответствующее этому месту количество единиц, десятков, сотен и так далее. Например, разряд десятков показывает, сколько в числе десятков. Название разряда помогает понять значение цифры и правильно прочитать число.

Как это устроено

Число сообщает количество или порядок, а цифра служит знаком для его записи. Например, если на столе семь карандашей, количество карандашей выражает число семь, а запись 7 состоит из одной цифры. Число двенадцать — тоже одно число, хотя для его записи нужны две цифры: 1 и 2. Поэтому нельзя считать, что число и цифра означают одно и то же.

В десятичной системе счёта каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего. Десять единиц составляют один десяток, десять десятков — одну сотню, а десять сотен — одну тысячу. Так происходит потому, что при счёте десяти одинаковых единиц их можно объединить и назвать единицей следующего разряда. Благодаря этому числам не требуется отдельный знак для каждой возможной величины.

Чтобы найти значение каждой цифры, сначала определяют её разряд, считая места справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи. Например, в числе 5 204 036 цифра 5 обозначает пять миллионов, цифра 2 — двести тысяч, а цифра 4 — четыре тысячи. Цифра 3 обозначает три десятка, а 6 — шесть единиц. Поэтому это число можно представить суммой разрядных слагаемых: 5 000 000 + 200 000 + 4 000 + 30 + 6.

Ноль в записи показывает, что в соответствующем разряде нет единиц. В числе 5 204 036 ноль стоит в разряде десятков тысяч и в разряде сотен. Эти нули не увеличивают сумму разрядных слагаемых, но сохраняют места других цифр. Если убрать их, цифры сдвинутся, и получится другое число.

Разряды объединяют в классы по три, считая справа налево. Первые три разряда образуют класс единиц, следующие три — класс тысяч, затем идёт класс миллионов. При чтении сначала называют число в очередном классе слева и добавляют его название, например «миллионов» или «тысяч». Такое деление помогает не сбиться, когда в записи много цифр, а при записи подсказывает, где должны стоять нули.

Разряды и классы натурального числа

В таблице показаны разряды числа 5 204 036. Читай строки справа налево по разрядам, чтобы увидеть, какое количество обозначает каждая цифра. Нулевые цифры тоже занимают свои места, хотя единиц в этих разрядах нет.

Разбор задач

Задача 1. Запишите цифрами число: триста двадцать семь. Название числа сообщает, сколько в нём сотен, десятков и единиц. Чтобы получить запись, нужно поставить соответствующую цифру в каждый из этих разрядов.

1. Слово «триста» означает 3 сотни, поэтому в разряде сотен записываем 3.
2. Слово «двадцать» означает 2 десятка, поэтому следующей цифрой ставим 2.
3. Слово «семь» означает 7 единиц, поэтому последней цифрой будет 7.

Получили запись 327: сотни, десятки и единицы расположены в нужном порядке. Проверка: 327 = 300 + 20 + 7, что совпадает с названием числа. Ответ: 327.

Задача 2. Прочитайте число 40 508 и представьте его в виде суммы разрядных слагаемых. Сначала разделим запись на классы по три цифры справа налево: 40 | 508. Левая группа означает тысячи, правая — единицы.

1. В числе 40 508 цифра 4 стоит в разряде десятков тысяч и обозначает 40 000.
2. Цифра 0 стоит в разряде тысяч, а цифра 5 — в разряде сотен и обозначает 500.
3. Ноль в разряде десятков показывает, что десятков нет; последняя цифра 8 обозначает восемь единиц.

При чтении сначала называем группу тысяч: сорок тысяч, затем группу единиц: пятьсот восемь. Нулевые разряды не дают слагаемых, поэтому их можно не включать в сумму, но нельзя терять при записи числа. Получается 40 000 + 500 + 8. Ответ: сорок тысяч пятьсот восемь; 40 508 = 40 000 + 500 + 8.

Задача 3. Запишите цифрами число: шесть миллионов двадцать тысяч семь и объясните роль нулей. Сначала определим названные классы: шесть миллионов, двадцать тысяч и семь единиц. Между этими частями есть пропущенные разряды, поэтому для них потребуются нули.

1. В классе миллионов записываем 6, а в классе тысяч — 020: двадцать тысяч занимают разряды десятков тысяч и тысяч.
2. Класс единиц должен содержать 007, потому что названы семь единиц, но нет ни сотен, ни десятков.
3. Соединяем классы слева направо, оставляя между ними пробелы: 6 | 020 | 007.

Получаем число 6 020 007. Нули в классе тысяч и классе единиц показывают пустые разряды и удерживают цифры на своих местах. Без них значение числа изменилось бы. Ответ: 6 020 007; нули обозначают отсутствие единиц в пропущенных разрядах.

Типичные ошибки

Путают цифру и число, например говорят «цифра 7» о количестве семи предметов. Так происходит, потому что в короткой записи число может состоять из одной цифры. Проверь себя: число отвечает на вопрос «сколько?», а цифра — это знак, которым число записано; число семнадцать, например, состоит из двух цифр.

Считают, что одна и та же цифра всегда обозначает одинаковое количество. Ошибка возникает, если смотреть только на сам знак и не замечать его места: цифра 4 может обозначать четыре единицы или четыре сотни. Проверь разряд справа налево и назови цифру вместе с ним, например «4 десятка» или «4 сотни».

При записи числа по названию пропускают нули в неназванных разрядах. Это случается, когда записывают только услышанные цифры, не оставляя места между ними. Проверь, что в каждой группе-классе записаны три разряда: если сотен или десятков нет, поставь на их местах нули, как в записи 6 020 007.

Неверно группируют цифры большого числа, разделяя их не справа или не по три. Обычно это происходит, когда начинают делить запись слева, не сверяясь с разрядами. Проверь число, отсчитав по три цифры от правого края: например, 5 204 036 делится на группы 5, 204 и 036.

Связь с другими темами

До изучения разрядов нужно уметь считать предметы, сравнивать числа и располагать их по порядку. Это помогает понимать, какую величину обозначает запись и какое число больше. Умение читать разряды пригодится при чтении и записи многозначных чисел, их сравнении и арифметических действиях. При сложении, вычитании, умножении и делении разрядный состав помогает правильно выполнять вычисления.

Что запомнить

• Для записи натуральных чисел используют десять цифр: от 0 до 9.
• Число и цифра — не одно и то же.
• В десятичной записи значение цифры зависит от её места.
• Десять единиц каждого разряда составляют одну единицу следующего разряда.
• Ноль может показывать, что в соответствующем разряде нет единиц.
• Разряды объединяют в классы по три, считая справа налево.