1. Обозначение натуральных чисел

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов. Натуральный ряд начинается с 1 и продолжается без конца: 1, 2, 3, 4 и так далее. Такие числа помогают назвать количество предметов или место предмета при счёте.

Цифра — один из десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры служат для записи чисел, как буквы — для записи слов. Например, число 28 записано двумя цифрами: 2 и 8.

Десятичная запись — запись числа с помощью цифр, в которой значение цифры зависит от её места. Благодаря этому можно записать любое натуральное число, используя всего десять знаков. Например, перестановка цифр в записях 24 и 42 меняет число.

Разряд — место цифры в записи числа, соответствующее единицам, десяткам, сотням и следующим степеням десяти. Считая справа налево, мы узнаём, сколько единиц, десятков, сотен и других групп содержит число. Разряд нужен, чтобы понять точное значение каждой цифры.

Как это устроено

Для записи натуральных чисел хватает десяти цифр, потому что их положение помогает передать нужное количество. Одну цифру можно записать отдельно, а несколько цифр поставить рядом в нужном порядке. Так из знаков 1 и 5 получаются разные числа 15 и 51: порядок задаёт их значение. Чем длиннее запись, тем большие разряды в ней могут быть.

Цифра сама по себе не сообщает, сколько именно единиц она обозначает в многозначном числе. Это показывает её разряд: например, в числе 4 372 цифра 4 стоит на месте тысяч и означает четыре тысячи. Цифра 3 стоит на месте сотен и означает триста. Поэтому при чтении и записи нужно учитывать и знак, и его положение.

Разряды считают справа налево и объединяют в группы по три. Эти группы называют классами: сначала идут единицы, затем тысячи, миллионы и далее. Такая группировка появилась потому, что числа могут быть очень длинными, а разделение помогает не сбиться при чтении. Обычно между классами оставляют небольшой промежуток, как в записи 3 405 027.

Ноль нужен, когда в каком-то разряде нет единиц, но другие разряды числа есть. В записи 507 цифра 0 показывает отсутствие десятков и не позволяет цифрам 5 и 7 занять соседние места. Если убрать этот ноль, получится 57 — совсем другое число. Поэтому ноль не всегда обозначает количество предметов: в записи он также может сохранять место разряда.

Чтобы прочитать многозначное число, сначала мысленно раздели его на классы справа налево, а затем читай классы слева направо. В числе 507 030 сначала называем группу 507 с классом тысяч, а затем группу 030 без названия класса: получается «пятьсот семь тысяч тридцать». При записи словесного названия цифры располагают по разрядам, а пустые разряды обозначают нулями. Так ни одна цифра не сдвигается на чужое место.

Разряды и классы десятичной записи

Чтобы определить значение цифры, найди её разряд в таблице и посмотри, в каком классе он находится. Например, цифра 4 в числе 3 405 027 стоит в разряде сотен тысяч, значит, обозначает четыре сотни тысяч. Таблица также показывает, что каждый следующий разряд в десятичной записи в десять раз больше предыдущего.

Разбор задач

Запиши цифрами число: восемь тысяч сорок два. В словесном названии указаны тысячи, десятки и единицы, а сотни не названы. Значит, для сотен нужно оставить пустой разряд и обозначить его нулём.

1. Запишем восемь тысяч как цифру 8 в разряде тысяч. Разряд сотен оставим пустым, потому что сотен в названии нет. На этом месте поставим 0.

2. Сорок означает четыре десятка, поэтому в разряде десятков поставим 4. Два означает две единицы, значит, последней цифрой будет 2. Объединим разряды по порядку: 8 042.

Ответ: 8 042.

Прочитай число 507 030 и укажи, что обозначают цифры 5, 7 и 3. Разобьём запись справа налево на классы: 507 — класс тысяч, 030 — класс единиц. Затем определим разряд каждой указанной цифры.

1. Класс тысяч читается как «пятьсот семь тысяч», а класс единиц — как «тридцать». Вместе получаем «пятьсот семь тысяч тридцать». Нули в записи сохраняют нужные места внутри классов.

2. Цифра 5 стоит в разряде сотен тысяч и обозначает пятьсот тысяч. Цифра 7 находится в разряде тысяч и обозначает семь тысяч. Цифра 3 стоит в разряде десятков и обозначает три десятка.

Ответ: число читается «пятьсот семь тысяч тридцать»; 5 — пятьсот тысяч, 7 — семь тысяч, 3 — три десятка.

Составь наименьшее шестизначное число из цифр 0, 2, 4, 5, 7, 9, используя каждую ровно один раз, и запиши его словами. Число не может начинаться с нуля, иначе запись не будет шестизначной. Чтобы число было наименьшим, поставим первым наименьшую из ненулевых цифр.

1. В начало поставим 2, а затем 0: так получается наименьший возможный первый разряд и самое маленькое начало записи. Оставшиеся цифры расположим по возрастанию: 4, 5, 7, 9. Получаем 204 579.

2. Разделим число на классы: 204 — класс тысяч, 579 — класс единиц. Прочитаем сначала класс тысяч, затем класс единиц. Получится «двести четыре тысячи пятьсот семьдесят девять».

Ответ: 204 579 — двести четыре тысячи пятьсот семьдесят девять.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что цифра всегда обозначает одно и то же количество. Её допускают, когда смотрят только на сам знак и не учитывают его место. Проверь себя: назови разряд цифры; например, 4 в 4 372 означает тысячи, а в 42 — десятки.

Ошибка — пропустить ноль при записи числа по словесному названию. Так происходит, если забыть, что неназванный разряд всё равно занимает своё место. Проверь себя, назвав разряды справа налево: в числе «восемь тысяч сорок два» между тысячами и десятками нужны сотни, поэтому запись — 8 042.

Ошибка — читать число с правого края или не разделять его на классы. Тогда можно перепутать тысячи с миллионами или неверно назвать группу цифр. Проверь себя: отдели справа группы по три цифры и читай их слева направо, начиная с самого старшего класса.

Ошибка — записывать многозначное натуральное число с нулём в начале. Такой ноль не меняет значение числа, поэтому его нередко ставят по привычке или при перестановке цифр. Проверь себя: если число начинается с нуля, убери его и сравни записи; 042 и 42 обозначают одно и то же число, а обычная запись — 42.

Связь с другими темами

Чтобы изучать запись натуральных чисел, сначала нужно уметь считать предметы и знать порядок натурального ряда. Понимание разрядов помогает сравнивать числа: можно сопоставить их старшие разряды, а затем следующие. Оно же необходимо при сложении и вычитании столбиком, потому что единицы складывают с единицами, десятки — с десятками.

Десятичная запись станет основой для изучения десятичных дробей. Умение определять место каждой цифры поможет понять, что находится справа и слева от запятой. Поэтому разряды и классы пригодятся не только при работе с целыми числами.

Что запомнить

• Натуральные числа записывают с помощью десяти цифр: от 0 до 9.
• Место цифры в записи определяет её разряд и значение.
• Каждый следующий разряд в десятичной записи в десять раз больше предыдущего.
• Разряды справа налево объединяют в классы по три.
• Ноль может показывать отсутствие единиц в разряде и сохранять места других цифр.
• Натуральное число в обычной записи не начинается с нуля.