"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Натуральные числа помогают считать предметы и записывать результаты счёта. Для их записи служат десять цифр, а значение каждой цифры зависит от её места в числе. Числа сравнивают, начиная со старшего разряда — самого левого. Координатный луч связывает числа с точками: начало, направление и единичный отрезок задают шкалу, по которой находят координату точки. Эти знания нужны для счёта, измерений и чтения шкал приборов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральными называют числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3, 4 и так далее. В этой теме наименьшее натуральное число — 1, а ноль натуральным не считается. Такие числа нужны, чтобы сообщать, сколько предметов мы насчитали: например, сколько книг лежит на столе.
Цифры — это знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, с помощью которых записывают натуральные числа. Цифра и число — не одно и то же: знак 5 является цифрой, а запись 25 обозначает число, составленное из двух цифр. Различие помогает понять, что цифры служат для записи, а число выражает количество.
Координатный луч — это луч, у которого выбраны начало, направление отсчёта и единичный отрезок. Точкам на таком луче соответствуют числа, потому что расстояние от начала измеряют выбранной единицей. Координатный луч позволяет изображать числа и видеть, где они расположены относительно друг друга.
Деления, нанесённые на луч на одинаковых расстояниях, образуют шкалу. Число, соответствующее точке на координатном луче, называют координатой этой точки. По шкале можно определить координату, а по заданной координате — найти нужное место на луче.
Чтобы записать число, цифры ставят в определённом порядке. Каждое место в записи называют разрядом: справа налево идут единицы, десятки, сотни, тысячи и другие разряды. Одна и та же цифра поэтому может обозначать разное количество: в числе 3 она означает три единицы, а в числе 30 — три десятка. Разрядная запись помогает понять величину числа и не перепутать её при чтении.
Сравнение многозначных чисел начинают с количества цифр, потому что большее число разрядов означает большее число. Например, любое пятизначное натуральное число больше любого четырёхзначного. Если цифр поровну, смотрят на записи слева направо: первые разряды имеют наибольшую ценность. Когда цифры совпадают, переходят к следующему разряду и останавливаются на первом различии; там большая цифра указывает на большее число.
Для построения координатного луча сначала отмечают начало, затем выбирают направление отсчёта и единичный отрезок — расстояние, соответствующее одной единице. После этого от начала откладывают единичные отрезки и ставят точки для чисел 1, 2, 3 и так далее. Такой порядок нужен, чтобы число каждой точки определялось однозначно, а не зависело от того, как человек на глаз оценил расстояние.
На шкале соседние деления должны находиться на одинаковом расстоянии друг от друга, если они соответствуют одинаковым шагам измерения. Тогда переход от одной отметки к следующей всегда означает прибавление одной и той же величины. Если интервалы сделать разными, одинаковые числа окажутся на разных расстояниях и считывание показаний станет неверным. Поэтому шкалу размечают по единичному отрезку, а не произвольно.
Чтобы найти координату точки, считают равные промежутки от начала луча и выясняют, сколько единиц они составляют. Если единичный отрезок разделён на четыре равные части, каждая часть равна четверти единицы. Например, одиннадцать таких частей — это две целые единицы и ещё три четверти: после восьми частей заканчиваются две единицы, остаются три части. Так координату можно записать как 2¾.
| Элемент | Что обозначает или задаёт | Как используется |
|---|---|---|
| Начало луча | Точку, от которой ведут отсчёт | От него откладывают расстояния и считают деления |
| Единичный отрезок | Расстояние, принимаемое за одну единицу | Задаёт масштаб и помогает разметить луч |
| Направление отсчёта | Сторону, в которую возрастают числа | Подсказывает, где отмечать следующие координаты |
| Деления шкалы | Равные шаги измерения | По ним отсчитывают расстояние от начала |
| Координата точки | Число, соответствующее точке на луче | Показывает положение точки относительно начала |
Сначала определи начало и направление, затем выясни, чему равен единичный отрезок. После этого считай деления от начала и записывай число, соответствующее нужной точке.
Задача 1. Записать цифрами число: двадцать пять тысяч четыреста семь. Сначала разделим услышанное число на части по разрядам: тысячи и единицы. В словах «двадцать пять тысяч» указано 25 000, а «четыреста семь» означает 407. В разряде десятков числа 407 цифры нет, поэтому при записи там нужен ноль.
Ответ: 25 407.
Задача 2. Сравнить числа 58 304 и 58 340 и объяснить выбор знака. В обоих числах одинаковое количество цифр, поэтому сравним их по разрядам слева направо. Десятки тысяч, тысячи и сотни совпадают; первая разница появляется в разряде десятков. В числе 58 304 там стоит 0, а в числе 58 340 — 4, значит, второе число больше.
Ответ: 58 304 < 58 340.
Задача 3. На координатном луче единичный отрезок разделён на 4 равные части. Найти координату точки, расположенной на 11-м делении после начала луча. Одно деление составляет четверть единицы, поэтому один полный единичный отрезок содержит четыре деления. Разделим 11 делений на группы по четыре: две полные группы составляют две единицы, а после них остаются три деления. Остаток равен трём четвертям единицы.
Ответ: координата точки — 2¾.
Можно принять цифру за число, потому что в простых случаях запись числа состоит всего из одного знака. Но цифра — знак записи, а число может включать несколько цифр и выражать большее количество. Чтобы проверить себя, спроси: я называю отдельный знак или всё количество? Например, 8 — и цифра, и запись числа восемь, а в записи 58 цифры 5 и 8 образуют число пятьдесят восемь.
При сравнении иногда начинают с последних цифр, потому что так удобнее читать запись справа налево. Но старшие разряды стоят слева и сильнее влияют на величину числа. Сравнивай числа от первой цифры слева и двигайся вправо только при совпадении. Для проверки отметь первый разряд, где цифры разные: именно он определяет результат.
Если наносить деления на луче на глаз, соседние промежутки могут получиться разной длины. Тогда шаги шкалы перестанут соответствовать одинаковым расстояниям, и положение точки нельзя будет надёжно определить. Проверь, равны ли промежутки между всеми соседними отметками. Удобно сначала отмерить единичный отрезок, а потом повторить его деления.
Не каждое деление шкалы обязательно равно единице: это зависит от того, как разделён единичный отрезок. Ошибку допускают, когда начинают считать отметки, не выяснив масштаб. Сначала найди отрезок от нуля до единицы и посчитай, на сколько равных частей он разделён. Затем учитывай цену одного деления при поиске координаты.
Для работы с натуральными числами нужны навыки счёта предметов, знание названий цифр и умение читать многозначные записи. Если разряды в числе пока трудно различать, полезно отдельно потренироваться на десятках, сотнях и тысячах. Координатный луч помогает изображать числа и сравнивать их по положению: правее расположена точка большего числа. Шкалы встречаются на измерительных приборах и графиках, где по делениям читают значения.
Почему 0 не относят к натуральным числам в этой теме?
Натуральные числа здесь понимаются как числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Ноль показывает отсутствие предметов, поэтому в принятом в теме ряду натуральных чисел его нет.
Чем число отличается от цифры?
Цифра — это знак для записи числа, например 7. Число выражает количество или порядок, а записать его можно одной цифрой или несколькими, например 27.
Как сравнить два числа с одинаковым количеством цифр?
Сравнивают записи слева направо, начиная с разряда наибольшего значения. Если цифры совпадают, переходят к следующему разряду; первая различающаяся цифра показывает, какое число больше.
Зачем на координатном луче отмечают единичный отрезок?
Единичный отрезок задаёт масштаб: его длина соответствует одной единице. Благодаря этому можно одинаково размечать луч и определять, каким числам соответствуют точки.
Как найти координату точки, если единица разделена на несколько частей?
Сначала выясняют, на сколько равных частей разделён единичный отрезок. Затем считают части от начала луча и выражают расстояние как целое число единиц и долю единицы.
§ 1. Натуральные числа и шкалы
