2. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка. Отрезок нужен, чтобы изображать ограниченное расстояние между двумя местами, а не бесконечную линию.

Отрезок записывают двумя заглавными буквами по названиям его концов: AB. Порядок букв не меняет сам отрезок: AB и BA обозначают один и тот же отрезок. По такому обозначению легко понять, какие точки являются его концами.

Длина отрезка — это расстояние между его концами, выраженное числом и единицей измерения. Например, запись 7 см означает, что расстояние равно семи сантиметрам. Длина помогает сравнивать отрезки и выполнять вычисления.

Треугольник — фигура, составленная из трёх отрезков, соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой. Точки называют вершинами, а соединяющие их отрезки — сторонами. Поэтому у треугольника всегда три вершины и три стороны.

Как это устроено

Чтобы построить отрезок, сначала отмечают две точки, например A и B. Затем проводят часть прямой от A до B, не продолжая её за эти точки. Так появляются границы фигуры: именно отмеченные точки становятся концами отрезка.

Длину измеряют линейкой, потому что её шкала разбита на равные единицы. Нулевую отметку совмещают с одним концом отрезка, чтобы отсчёт начинался с самого начала расстояния. Значение шкалы у второго конца показывает длину в выбранных единицах, например в сантиметрах.

Два отрезка называют равными, если расстояния между их концами одинаковы. Для проверки можно измерить каждый отрезок и сравнить полученные числа. Можно также наложить один отрезок на другой: если концы совпадут, отрезки равны.

Если точка C лежит между точками A и B, она делит отрезок AB на две части: AC и CB. Весь путь от A до B складывается из пути от A до C и пути от C до B. Поэтому используют правило AB = AC + CB, а неизвестную часть находят вычитанием.

Треугольник получают так: берут три точки, не лежащие на одной прямой, и попарно соединяют их отрезками. Нельзя пропустить пару точек, иначе замкнутая фигура не получится. Три исходные точки становятся вершинами, а три соединяющих отрезка — сторонами треугольника.

Отрезок и треугольник: обозначения и основные характеристики

Таблица помогает быстро сравнить, из каких элементов состоят отрезок и треугольник. В обозначении треугольника ABC три буквы называют его вершины, а две буквы обозначают отдельную сторону, например AB. Для отрезка достаточно проверить его концы и найти длину.

Разбор задач

Задача 1

Начертите отрезок MN длиной 5 см и обозначьте его концы. Здесь нужно не просто провести линию, а отложить на ней точно заданное расстояние. Буквы M и N должны стоять у двух концов построенного отрезка.

1. Поставьте точку M и приложите к ней нулевую отметку линейки.
2. Сделайте отметку напротив деления 5 см и обозначьте её буквой N.
3. Проведите отрезок между M и N и запишите его обозначение MN.

Ответ: построен отрезок MN длиной 5 см.

Задача 2

Длина отрезка AB равна 9 см, точка C лежит между A и B, а AC = 4 см. Требуется найти CB — вторую часть всего отрезка. Так как C находится внутри AB, применяем правило сложения частей.

1. Запишем равенство: AB = AC + CB.
2. Подставим известные длины: 9 = 4 + CB.
3. Вычтем 4 из 9: CB = 5 см.

Ответ: длина отрезка CB равна 5 см.

Задача 3

Начертите треугольник ABC, измерьте его стороны и запишите их обозначения и длины. Сначала нужно получить замкнутую фигуру из трёх вершин, а затем отдельно рассмотреть каждую сторону. Название стороны составляют из букв её концов.

1. Отметьте три точки A, B и C так, чтобы они не лежали на одной прямой.
2. Соедините A с B, B с C и C с A.
3. Измерьте линейкой стороны AB, BC и AC, записывая результат с единицей длины.

Ответ: стороны треугольника — AB, BC и AC; их длины равны значениям, полученным при измерении.

Типичные ошибки

Иногда отрезком называют всю прямую, проходящую через две точки. Так происходит, потому что отрезок действительно лежит на прямой, но он заканчивается в двух местах. Проверьте себя: у отрезка должны быть видны два конца.

Некоторые записывают отрезок одной буквой или используют буквы, не являющиеся его концами. Одна буква обычно обозначает точку, а отрезок требует названий обоих концов. Сверьте запись с чертежом: обе буквы должны стоять на границах отрезка.

При измерении бывает, что линейку начинают прикладывать не от нулевой отметки. Тогда найденное число показывает не всю длину, а только расстояние между выбранными делениями. Для проверки найдите разность показаний у концов или переставьте линейку нулём к началу.

Три точки на одной прямой ошибочно принимают за вершины треугольника. Соединённые точки не образуют замкнутую фигуру с тремя сторонами. Перед построением убедитесь, что одна точка не лежит на прямой через две другие.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь отмечать точки, проводить прямую, пользоваться линейкой и знать единицы длины. Эти умения позволяют правильно строить фигуры и записывать результаты измерений.

Отрезки встречаются в ломаных и многоугольниках: из них состоят их звенья и стороны. Позже длины сторон понадобятся для нахождения периметра — суммы длин всех сторон фигуры.

Что запомнить

• У отрезка два конца.
• Отрезок обозначают двумя заглавными буквами по его концам.
• Длину отрезка измеряют линейкой и записывают с единицей измерения.
• Равные отрезки имеют одинаковую длину.
• Если C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
• У треугольника три вершины и три стороны.