2. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник 

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют его концами. Если концы обозначены A и B, отрезок называют AB. По буквам удобно отличать его от других отрезков на чертеже и указывать, между какими точками он проходит.

Длина отрезка — число, показывающее расстояние между его концами. Её записывают теми же буквами: AB; например, AB = 5 см. Единица измерения рядом с числом помогает понять, какую именно длину нашли.

Равные отрезки — отрезки одинаковой длины. Их можно сравнить, измерив линейкой, или наложив один на другой: если концы совпали, длины одинаковы. Это позволяет проверять чертёж и устанавливать, какие отрезки можно считать равными.

Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называют вершинами, а отрезки — сторонами. Например, треугольник с вершинами A, B и C обозначают △ABC.

Как это устроено

Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единицу длины, например сантиметр. Затем смотрят, сколько раз эта единица укладывается между концами; линейка уже размечена на равные деления. Так расстояние превращается в число, а запись вроде 6 см сообщает и результат, и единицу измерения.

Представь, что C находится между A и B. Путь от A до B сначала проходит от A до C, а затем от C до B, поэтому длина всего отрезка складывается из длин двух частей: AB = AC + CB. Это правило работает потому, что части идут подряд и вместе составляют целый отрезок, не перекрывая друг друга.

Сравнить отрезки можно измерением: полученные длины покажут, какой отрезок длиннее или равны ли они. Можно также наложить отрезки друг на друга, совместив один конец. Если при этом совпадают и вторые концы, отрезки равны; иначе один из них выступает дальше.

У треугольника три вершины и три стороны, потому что каждая из трёх вершин соединена с двумя другими. Название составляют по буквам вершин, например △ABC; обычно буквы называют по порядку обхода фигуры. По названию можно понять, какие именно вершины и стороны имеются в виду.

Чтобы получился треугольник, три вершины не должны лежать на одной прямой: иначе замкнутой фигуры с тремя сторонами не возникнет. Кроме того, должны быть проведены отрезки между каждой парой вершин. Поэтому для △ABC нужны стороны AB, BC и CA, образующие замкнутую фигуру.

Отрезок и треугольник: обозначения и основные сведения

В таблице найди нужный объект в первом столбце, затем проверь его обозначение и основное свойство. Запись AB может называть отрезок или его длину — смысл подсказывает контекст. Если рядом указаны сантиметры или равенство чисел, речь идёт о длинах.

Разбор задач

Задача 1. Начертите отрезок AB длиной 5 см и обозначьте его концы. Нужно получить именно отрезок заданной длины, поэтому важно начать измерение от нулевого деления линейки. После построения подпишем оба конца буквами.

1. Положим линейку на бумагу и выберем точку A у отметки 0 см. Если начать от края линейки, где стоит не ноль, длина может получиться неверной.
2. На отметке 5 см поставим точку B. Расстояние от нуля до этой отметки равно пяти сантиметрам.
3. Соединим A и B прямой линией и подпишем концы. Проверим, что линейка показывает от A до B ровно 5 см.

Ответ: отрезок AB длиной 5 см. Буквы должны стоять у его концов, а не посередине.

Задача 2. Точка C лежит между A и B, AC = 4 см, CB = 7 см. Требуется найти расстояние от A до B. Так как части расположены подряд, длины нужно сложить.

1. Запишем правило для точки между концами: AB = AC + CB. Оно следует из того, что две части вместе составляют весь отрезок.
2. Подставим известные значения: AB = 4 см + 7 см = 11 см. Складываем числа, а единицу измерения сохраняем.
3. Проверим смысл результата: целый отрезок должен быть длиннее каждой своей части. Число 11 больше и 4, и 7, значит, ответ подходит.

Ответ: AB = 11 см.

Задача 3. Отрезок AB длиной 12 см разделён точками C и D на три части. Известно, что AC = 3 см, CD = 5 см; нужно найти DB и проверить результат. Части идут подряд, поэтому вместе они должны составить все 12 см.

1. Запишем сумму частей: AB = AC + CD + DB. Подставим известные длины: 12 = 3 + 5 + DB.
2. Сначала найдём длину двух известных частей: 3 + 5 = 8 см. Значит, на последнюю часть остаётся 12 − 8 = 4 см.
3. Проверим сложением: 3 + 5 + 4 = 12 см. Сумма совпала с длиной AB, поэтому найденная часть подходит.

Ответ: DB = 4 см. Такая проверка помогает заметить ошибку, если части не дают длину целого отрезка.

Типичные ошибки

Ошибка: называть отрезком прямую. Их путают, потому что обе фигуры выглядят как линия, но отрезок имеет два конца, а прямая продолжается в обе стороны. Проверь себя: если на рисунке обозначены границы точками, между которыми идёт линия, это отрезок.

Ошибка: считать, что запись AB всегда означает число — длину. Буквы могут обозначать сам отрезок, и без единиц измерения легко спутать объект с его размером. Сверься с условием: фраза «отрезок AB» называет фигуру, а «AB = 5 см» сообщает длину.

Ошибка: вычитать длины частей, когда требуется найти целый отрезок. Такое действие выбирают по привычке, хотя части, расположенные одна за другой, составляют целое. Проверь положение точки: если она между концами, складывай части; вычитание пригодится, когда целое уже известно и нужно найти неизвестную часть.

Ошибка: соединить три точки на одной прямой и назвать результат треугольником. Точки могут казаться тремя вершинами, но все стороны тогда не образуют замкнутую фигуру. Проверь себя: вершины должны не лежать на одной прямой, а отрезки — соединять каждую пару вершин.

Связь с другими темами

Для работы с отрезками нужно уметь распознавать точку и прямую, пользоваться линейкой и знать единицы длины. Эти навыки помогают строить геометрические фигуры и решать задачи на периметр — сумму длин сторон. Понятие треугольника станет основой для изучения его видов, углов и площадей фигур.

Что запомнить

• Отрезок имеет два конца.
• Длину отрезка выражают числом и единицей измерения.
• Равные отрезки имеют одинаковую длину.
• Если точка лежит между концами отрезка, длина целого равна сумме длин его частей.
• У треугольника три вершины и три стороны.
• Три вершины треугольника не лежат на одной прямой.