3. Плоскость. Прямая. Луч 

Определения и обозначения

Плоскость — ровная поверхность, которая мысленно продолжается во все стороны без конца. На чертеже показывают только её часть, например поверхность листа. Понятие плоскости помогает описывать, где расположены точки и линии.

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца. На рисунке её изображают короткой чертой, но за её краями прямая продолжается в обе стороны. Прямую обозначают двумя заглавными латинскими буквами точек на ней: прямая AB; такой способ позволяет назвать нужную линию.

Луч — часть прямой, у которой есть начало и которая бесконечно продолжается в одном направлении. Его обозначают двумя буквами, причём первой ставят букву начала, а второй — букву другой точки на луче: луч AB начинается в A и проходит через B. Точка B задаёт направление, но не является концом луча.

Как это устроено

Точки и линии изображают на плоскости, потому что рисунок удобно рассматривать как часть ровной поверхности. На листе видны лишь границы той области, которую мы нарисовали, а не настоящие границы плоскости. По той же причине черта не показывает, где прямая заканчивается: в геометрии она продолжается за края рисунка. Это помогает не путать сам объект с его изображением.

Через любые две различные точки можно провести прямую. Представь, что приложил линейку к двум отмеченным точкам: её край задаёт направление линии, проходящей через обе точки. Другой прямой через те же две точки быть не может, потому что она должна совпасть с первой. Поэтому прямую называют по этим точкам, например AB; порядок букв не меняет линию, и BA обозначает ту же прямую.

Чтобы получить луч, сначала выбирают точку начала на прямой, а затем одно из двух направлений от неё. Прямая продолжается в обе стороны, поэтому от выбранной точки можно пойти в одну сторону или в противоположную. Так образуются два луча с общим началом, направленные в разные стороны. Если точка B лежит между A и C, лучи BA и BC как раз показывают эти противоположные направления.

Для обозначения луча первым указывают его начало, а вторым — любую другую точку, лежащую на нём. Например, запись AB означает, что луч начинается в A и идёт через B; запись BA описывает луч с началом в B, то есть уже другой объект. Вторая буква нужна, чтобы показать, куда направлен луч. Поэтому при чтении записи сначала найди начало, а затем проследи направление от него.

Рисунок помогает увидеть, какие точки лежат на одной линии и куда направлен луч. Однако нарисованный участок может выглядеть так, будто у линии есть края или луч заканчивается в отмеченной точке. Это только удобный способ показать бесконечный объект на ограниченном листе. При чтении чертежа ориентируйся на обозначения и свойства прямой или луча, а не на длину нарисованной черты.

Сравнение плоскости, прямой и луча

Сравнивай объекты по тому, есть ли у них начало и в скольких направлениях они продолжаются. Чтобы проверить обозначение, отдельно выясни, какие точки его задают и в каком порядке записаны буквы. Тогда изображённая на чертеже черта не введёт тебя в заблуждение.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Назови прямую, проходящую через них, и объясни, почему её можно обозначить двумя способами. Нужно назвать линию по двум точкам, а затем проверить, меняется ли она при перестановке букв. Для прямой порядок точек не задаёт направление.

1. Найди на рисунке прямую, проходящую через A и B.
2. Назови её прямой AB, потому что обе отмеченные точки лежат на этой линии.
3. Поменяй буквы местами: прямая BA проходит через те же самые точки и обозначает ту же линию.

Ответ: прямая AB; её также можно назвать прямой BA, поскольку у прямой нет заданного направления.

Задача 2. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Назови лучи с началом в B. В этой задаче важно отталкиваться от B, а не от крайних точек. От неё на прямой есть два противоположных направления.

1. Посмотри, в какую сторону от B расположена A: это направление задаёт луч BA.
2. В другую сторону от B расположена C, поэтому там проходит луч BC.
3. Проверь обозначения: в обоих случаях первой стоит B, то есть точка начала.

Ответ: лучи BA и BC. У них общее начало B, но они направлены в противоположные стороны.

Задача 3. На одной прямой отмечены точки A, B и C в таком порядке. Запиши луч с началом в A, проходящий через C, и объясни, проходит ли он через B. Слова «в таком порядке» означают, что при движении от A к C сначала встречается B. Значит, B лежит на выбранном направлении луча.

1. Определи начало луча: это точка A, поэтому она должна стоять первой.
2. Для указания направления используй точку C. Получается луч AC.
3. Проверь положение B: она расположена между A и C, значит, луч от A через C проходит и через B.

Ответ: луч AC; он проходит через точку B и продолжается дальше за C.

Типичные ошибки

Считать, что прямая заканчивается на краях нарисованной черты. Так думают, потому что на листе виден только короткий участок линии. Но черта служит изображением, а не границей прямой. Проверь себя: если в обозначении речь о прямой, мысленно продолжи её в обе стороны.

Записывать буквы луча в обратном порядке. Ошибка возникает, когда забывают, что у луча есть начало. В записи луча AB он начинается в A, а луч BA начинается в B. Чтобы проверить себя, сначала найди точку начала на условии или чертеже, затем поставь её букву первой.

Считать точку направления концом луча. Луч часто рисуют до второй отмеченной точки, и кажется, будто дальше он не идёт. На самом деле эта точка лишь показывает, в какую сторону направлен луч. Проверь себя: мысленно продли линию за неё в том же направлении.

Путать прямую с лучом. Оба объекта на рисунке могут выглядеть как линия, поэтому различие легко упустить. У прямой нет начала и она продолжается в обе стороны, а у луча есть начало и только одно направление продолжения. Перед ответом спроси себя, указана ли точка начала и нужно ли учитывать направление.

Связь с другими темами

Чтобы читать чертежи в этой теме, нужно уметь отмечать точки и узнавать их обозначения — заглавные латинские буквы. Это помогает понимать, через какие точки проходит прямая и где начинается луч. Позже точки, прямые и лучи понадобятся при изучении отрезка, угла и геометрических фигур. Знание их свойств поможет разбирать чертежи и точно описывать части фигур.

Что запомнить

• Плоскость продолжается во все стороны.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении.
• В обозначении луча первой пишут букву его начала.
• Из одной точки прямой выходят два противоположных луча.