4. Шкалы и координаты 

Определения и обозначения

Шкала — ряд отметок на приборе или изображении, которым соответствуют числа. Шкалы встречаются на линейке, термометре, часах и других приборах. Они нужны, чтобы по положению отметки узнать длину, температуру, время или другую величину.

Цена деления — число единиц, приходящееся на одно деление шкалы, то есть на промежуток между соседними отметками. Её находят по двум подписанным отметкам: разность их значений делят на число промежутков между ними. Цена деления помогает прочитать значение даже у отметки, рядом с которой нет числа.

Координатный луч — луч, для которого выбраны начало, направление и единичный отрезок. Единичный отрезок задаёт шаг, которому соответствует одна единица числа. Такой луч нужен, чтобы изображать числа точками и видеть, какое из них больше.

Координата точки — число, показывающее положение точки на координатном луче относительно его начала. Она равна расстоянию от начала, выраженному в единичных отрезках. По координате можно найти точку, а по точке — определить её число.

Как это устроено

Чтобы прочитать шкалу, сначала найди две подписанные отметки, между которыми находится нужная. Их значения известны, поэтому можно вычислить, на сколько меняется число на всём отрезке шкалы. Затем посчитай промежутки между отметками: именно столько раз значение изменяется на цену одного деления. Так ты узнаешь, сколько единиц приходится на каждый шаг, и сможешь читать шкалу, не угадывая.

Когда цена деления известна, значение промежуточной отметки находят отсчётом от ближайшего подписанного числа. Сначала определи, в какую сторону увеличиваются значения, затем посчитай число промежутков до нужной отметки. Умножь это число на цену деления и прибавь результат, если двигаешься к большим значениям; при движении к меньшим — вычти. Такой порядок помогает не перепутать направление счёта.

Координатный луч строят не просто как линию: сначала выбирают её начало, затем направление и единичный отрезок. Начало соответствует числу 0, а конец первого единичного отрезка — числу 1. Следующие одинаковые отрезки отмечают числа 2, 3 и далее. Равные промежутки нужны потому, что каждому одинаковому шагу соответствует одинаковое увеличение числа.

Координату точки находят, считая единичные отрезки от начала луча до этой точки. Начало отсчёта важно: расстояние считают именно от него, а не от ближайшей подписанной цифры. Точка с координатой 5 находится дальше от начала, чем точка с координатой 3, потому что до неё нужно пройти больше единичных шагов. Это позволяет сравнивать числа по расположению точек.

Шкала и координатный луч действуют похожим образом: каждому положению соответствует число, а числу — положение. На шкале значение узнают по делениям и подписанным числам, а на луче — по расстоянию от начала и выбранной единице. Поэтому числом можно описать положение предмета или точки, а по числу — восстановить это положение. Оба способа помогают измерять и сравнивать.

Как определить значение по шкале

Заполняй таблицу по порядку: без подписанных чисел нельзя вычислить цену деления, а без неё — значение промежуточной отметки. В последнем столбце проверяй, что деления равные, а найденное значение лежит между числами, которые его ограничивают. Если на шкале значения растут в другую сторону, учитывай направление отсчёта.

Разбор задач

Задача 1. На шкале между отметками 10 и 20 расположено 5 равных делений. Найдите цену деления. Сначала определим, насколько отличаются значения на концах участка шкалы. Затем разделим эту разность на число промежутков: это покажет величину одного шага.

1. Вычислим разность подписанных значений: 20 − 10 = 10.
2. Разделим разность на 5 промежутков: 10 : 5 = 2.
3. Проверим результат: пять делений по 2 единицы составляют 10 единиц.

Ответ: цена деления равна 2.

Задача 2. На шкале подписаны 30 и 50, между ними 4 равных промежутка. Какое значение соответствует второй отметке после 30? Найдём шаг шкалы, а затем отсчитаем два перехода от отметки 30. Важно не считать саму отметку 30 первым промежутком: первый промежуток ведёт к следующей отметке.

1. Найдём разность значений: 50 − 30 = 20.
2. Определим цену деления: 20 : 4 = 5.
3. Отсчитаем два промежутка после 30: 30 + 2 · 5 = 40.
4. Проверим: от 30 до 50 четыре шага по 5, а второй шаг действительно приводит к 40.

Ответ: второй отметке после 30 соответствует значение 40.

Задача 3. На координатном луче единичный отрезок равен 2 см. Постройте точки A(3) и B(5), а затем определите расстояние между ними. Числа в скобках показывают, сколько единичных отрезков нужно отложить от начала. Сначала отметим обе точки, затем сравним их координаты и переведём разницу в сантиметры.

1. От начала луча отложим для A три единичных отрезка: 3 · 2 = 6 см.
2. Для B отложим пять единичных отрезков: 5 · 2 = 10 см.
3. Найдём разность координат: 5 − 3 = 2 единицы.
4. Переведём расстояние в сантиметры: 2 · 2 = 4 см.

Ответ: A находится в 6 см, B — в 10 см от начала; расстояние между ними равно 4 см.

Типичные ошибки

Иногда разность подписанных значений делят на количество отметок, а не промежутков. Так получается неверное число, потому что между двумя крайними отметками находится на одну границу меньше, чем отметок. Чтобы проверить себя, пересчитай переходы от одной отметки к другой: именно они образуют деления.

Другая ошибка — считать отметки вместо промежутков при поиске цены деления. Её допускают, потому что на шкале видны сами черточки, а промежутки легко не заметить. Помни: соседние отметки образуют одно деление. Для проверки посмотри, сколько раз нужно прибавить найденную цену, чтобы получить разность подписанных значений.

При поиске координаты можно начать отсчёт от ближайшей цифры, а не от начала луча. Тогда получится число шагов от другого места, которое не является координатой точки. Проверяй себя: отсчёт всегда начинается в начале луча, соответствующем нулю. Если единичный отрезок выбран верно, число таких отрезков до точки и есть её координата.

Можно также принять число на шкале за количество делений от начала. Но начало шкалы и цена деления могут быть выбраны иначе: например, первая отметка может иметь значение 30, а не 0. Поэтому сверяйся с подписанными значениями и найденной ценой деления. Проверка проста: значение нужной отметки должно получаться последовательным отсчётом от известной отметки.

Связь с другими темами

Для работы со шкалами нужно уметь сравнивать и вычитать натуральные числа, считать равные промежутки и измерять длину отрезка. Эти умения помогают вычислить цену деления и определить расстояние на луче. Координатный луч связывает числа с точками: по нему удобно изображать и сравнивать числа, а также находить расстояние между точками. Чтение шкал пригодится при измерениях и работе с линейкой, термометром, часами и другими приборами.

Что запомнить

• Шкала состоит из отметок, которым соответствуют значения.
• Цена деления равна разности соседних подписанных значений, делённой на число промежутков между ними.
• На координатном луче есть начало, направление и единичный отрезок.
• Координату точки отсчитывают от начала луча.
• Равным единичным отрезкам соответствуют равные промежутки между числами.
• Чем больше координата точки, тем дальше она расположена от начала луча по направлению луча.