5. Меньше или больше 

Определения и обозначения

Сравнить два числа — значит выяснить, какое из них меньше, какое больше или равны ли они. Результат сравнения помогает расположить числа по порядку и выбрать нужное число при решении задачи. Например, при сравнении 5 и 8 получаем, что 5 меньше 8.

Знак «<» читают «меньше». Он показывает, что число слева меньше числа справа: 4 < 9. Острый угол знака обращён к меньшему числу, а раскрытая часть — к большему, поэтому направление знака можно проверить глазами.

Знак «>» читают «больше». Он показывает, что число слева больше числа справа: 12 > 7. Если поменять числа местами, знак тоже нужно повернуть: 7 < 12.

Запись со знаком «<» или «>» называют неравенством. Она выражает результат сравнения двух чисел и показывает, в каком порядке они расположены. Если числа равны, используют знак «=», например 6 = 6.

Как это устроено

Сравнивать числа удобно по их расположению на координатном луче. На луче числа отмечают в порядке возрастания, поэтому каждое следующее число находится правее предыдущего. Значит, из двух отмеченных чисел больше то, которое расположено правее, а меньшее находится левее.

Если натуральные числа имеют разное количество цифр, сначала считают цифры в их записях. Число с большим количеством цифр занимает более высокий разряд: например, в двузначном числе есть десятки, а в однозначном их нет. Поэтому любое двузначное число больше любого однозначного, а любое четырёхзначное — любого трёхзначного.

Числа с одинаковым количеством цифр сравнивают слева направо. Сначала смотрят на цифры старшего разряда, затем при необходимости переходят к следующему. Такой порядок нужен потому, что старший разряд определяет величину числа сильнее младших разрядов.

Если цифры старшего разряда одинаковы, сравнивают цифры следующего разряда. Как только встретились разные цифры, сравнение заканчивают: число с большей цифрой в этом разряде будет больше. Например, в числах 438 и 421 первые цифры одинаковы, но 3 больше 2, значит 438 > 421.

Когда цифры совпали во всех разрядах, записи обозначают одно и то же число. В таком случае числа равны, и ставят знак «=». Результат нужно читать в том же порядке, в каком записаны числа: 15 < 20 — «пятнадцать меньше двадцати», но 20 > 15 — «двадцать больше пятнадцати».

Как сравнивать натуральные числа

Сначала определите, к какой ситуации относятся данные числа. Затем примените только подходящее правило и запишите знак между числами.

Проверяйте порядок записи: знак сравнивает число слева с числом справа, а не наоборот.

Разбор задач

Сравните 4 и 7.

Однозначные числа можно представить на координатном луче. Число 4 будет расположено левее числа 7, поэтому оно меньше.

1. Отметим 4 и 7 на координатном луче.
2. Определим, какое число находится правее. Правее расположено 7.
3. Поставим знак «<», потому что 4 меньше 7.

Ответ: 4 < 7.

Сравните 582 и 96.

В записи числа 582 три цифры, а в записи числа 96 — две. Количество цифр уже позволяет сделать вывод, поэтому сравнивать отдельные цифры не требуется.

1. Посчитаем цифры: 582 — трёхзначное число, 96 — двузначное.
2. Сравним количество цифр: 3 больше 2.
3. Число с большим количеством цифр больше, поэтому ставим знак «>».

Ответ: 582 > 96.

Сравните 43 718 и 43 681 и запишите ответ с помощью знака.

У обоих чисел по пять цифр, значит, сравнивать их нужно слева направо. Первые две цифры совпадают, поэтому переходим к следующему разряду. На первом различии выбираем знак.

1. Сравним десятки тысяч и тысячи: 4 = 4 и 3 = 3.
2. Сравним сотни: 7 больше 6.
3. Значит, первое число больше второго, и записываем 43 718 > 43 681.

Ответ: 43 718 > 43 681.

Типичные ошибки

Иногда большее число выбирают по последней цифре. Так делать нельзя: младший разряд не всегда определяет величину числа, например 391 > 248, хотя 1 < 8. Сравнивайте записи слева направо и останавливайтесь на первом различии.

При разном количестве цифр некоторые смотрят только на первые цифры. Это приводит к ошибке, потому что трёхзначное число всегда больше двузначного, даже если его первая цифра меньше. Сначала сосчитайте цифры в обеих записях.

Знаки «<» и «>» иногда путают между собой. Ошибку допускают, если не обращают внимания на раскрытую часть знака. Проверьте себя: раскрытая сторона должна смотреть на большее число.

Верное сравнение может стать неверным из-за перестановки чисел и знака. Например, запись 6 > 10 неверна, хотя мысль о сравнении могла быть правильной. Прочитайте неравенство слева направо и спросите себя, действительно ли первое число больше второго.

Связь с другими темами

Перед сравнением нужно знать натуральные числа, разряды и классы в их записи. Эти знания помогают считать цифры и находить старший разряд.

Правила сравнения нужны, когда числа упорядочивают по возрастанию или убыванию. Они также помогают решать задачи с длиной, массой, временем и другими величинами.

Сравнение натуральных чисел подготавливает к сравнению дробей и рациональных чисел. В новых темах способы записи станут сложнее, но идея выбора большего и меньшего сохранится.

Что запомнить

• На координатном луче правее расположено большее число.
• Из двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше то, в записи которого цифр больше.
• Числа с одинаковым количеством цифр сравнивают слева направо.
• При сравнении останавливаются на первом разряде с разными цифрами.
• Знак «<» читают «меньше», знак «>» — «больше».
• Если цифры во всех разрядах совпадают, числа равны.