"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Сложение объединяет количества, а вычитание помогает узнать, сколько осталось или насколько одно число больше другого. Эти действия нужны для вычислений и решения задач. При сложении можно менять слагаемые местами и группировать их, чтобы считать удобнее. Вычитание связано со сложением проверкой: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое. Чтобы не ошибиться, нужно знать названия чисел и соблюдать порядок действий в выражениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Слагаемое — число, которое складывают с другим числом. В записи a + b числа a и b — слагаемые, а знак «+» показывает, что их нужно сложить. Это название помогает понять, какие числа участвуют в действии и что можно менять их местами.
Сумма — результат сложения, а также выражение, в котором числа соединены знаком «+». Например, в записи 6 + 3 сумма равна 9, а выражение 6 + 3 тоже называют суммой. Термин нужен, чтобы различать действие и полученный результат.
Уменьшаемое — число, из которого вычитают. В записи a − b уменьшаемым является число a, стоящее перед знаком «−». Это название показывает, от какого количества отнимают часть, и помогает не перепутать числа в записи.
Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого. В записи a − b это число b, стоящее после знака «−»; результат действия называется разностью. Названия помогают правильно записать вычитание и проверить его сложением.
Сложение помогает узнать общее количество, когда объединяют две группы. Если к 4 карандашам добавить ещё 3, всего станет 7: это можно записать как 4 + 3 = 7. Порядок групп не меняет общего количества, поэтому 4 + 3 = 3 + 4. Это переместительное свойство: a + b = b + a.
Если складывают три числа, их можно объединить в пары разными способами: (a + b) + c = a + (b + c). Это сочетательное свойство сложения. Оно верно потому, что все три количества в итоге объединяются вместе, а скобки лишь показывают, какие числа считают первыми. Например, 18 + 2 + 5 удобно считать как (18 + 2) + 5.
Вычитание помогает узнать, сколько останется после удаления части или насколько одно количество больше другого. Оно связано со сложением обратным действием: если a − b = c, то c + b = a. Например, если из 10 вычесть 4 и получить 6, то проверка 6 + 4 снова даёт 10. Связь действий позволяет проверять вычисления.
Чтобы проверить вычитание, к полученной разности прибавляют вычитаемое: сумма должна совпасть с уменьшаемым. Если из 5 нужно вычесть 8, натурального результата не получится: вычитание потребовало бы числа меньше нуля, а оно не относится к натуральным числам в этом случае. Поэтому в пределах натуральных чисел из меньшего числа большее вычесть нельзя.
В выражении со скобками сначала вычисляют то, что заключено в скобки: скобки задают, какое действие выполнить первым. Если скобок нет, сложение и вычитание выполняют по порядку слева направо, поскольку у них одинаковый приоритет. Например, в 20 − 6 + 2 сначала считают 20 − 6, затем прибавляют 2. Такой порядок не позволяет случайно изменить смысл записи.
| Действие | Запись | Названия компонентов | Результат и проверка |
|---|---|---|---|
| Сложение | a + b = c | a и b — слагаемые | c — сумма; слагаемые можно переставлять и группировать |
| Вычитание | a − b = c | a — уменьшаемое, b — вычитаемое | c — разность; проверка: c + b = a |
| Связь сложения и вычитания | a − b = c | a — уменьшаемое, b — вычитаемое, c — разность | c + b = a |
| Порядок действий в выражениях | (a + b) − c | Числа называют по выполняемому действию | Сначала скобки, затем действия слева направо |
Сначала найди в записи знак действия и определи, как называются числа при нём. Затем посмотри, какие свойства можно применить или как выполнить проверку. В последней строке таблицы показан порядок вычислений для выражений.
Задача 1. Вычислить 248 + 137 и назвать компоненты действия. Сначала определим, какие числа складываются, а затем выполним сложение по разрядам. В конце оценим, похож ли результат на ожидаемый: 248 близко к 250, а 137 — к 140, значит сумма должна быть около 390.
Ответ: 385; слагаемые — 248 и 137, сумма — 385.
Задача 2. Вычислить 600 − 278 и выполнить проверку. Вычитаемое меньше уменьшаемого, поэтому разность будет натуральным числом. После вычисления прибавим к ней 278: если получится 600, значит, ответ найден верно.
Ответ: 322.
Задача 3. Вычислить 125 + (375 − 148) − 52 удобным способом. Скобки требуют сначала найти разность 375 − 148. После этого останется сложение и вычитание; сложение можно сгруппировать так, чтобы получить круглое число.
Ответ: 300.
Ошибка — поменять местами уменьшаемое и вычитаемое, считая, что порядок не важен. Так иногда делают по привычке после сложения, где перестановка слагаемых допустима. При вычитании 9 − 4 = 5, но 4 − 9 нельзя выполнить в натуральных числах. Проверь себя: прочитай запись словами — из какого числа вычитают?
Неверно считать вычитание перестановочным действием и утверждать, что a − b равно b − a. Например, 12 − 5 = 7, а 5 − 12 не является натуральным числом. Ошибка возникает из-за переноса свойства сложения на другое действие. Сравни оба выражения, подставив числа, прежде чем менять порядок.
При проверке вычитания можно пропустить сложение или сложить не те числа. Иногда к уменьшаемому прибавляют разность, хотя нужно прибавить именно вычитаемое к разности. Для равенства a − b = c проверка всегда такая: c + b должно равняться a. Подпиши числа названиями и проверь, что получил исходное уменьшаемое.
Если забыть скобки или порядок действий, получится другой результат. Например, в выражении 20 − (6 + 2) сначала находят сумму в скобках, а не вычитают 6 и затем прибавляют 2. Такая ошибка появляется, когда начинают считать сразу слева направо, не замечая скобок. Перед вычислением отметь скобки, а без них выполняй сложение и вычитание по порядку слева направо.
Чтобы складывать и вычитать натуральные числа, нужно уметь читать их запись по разрядам: единицы, десятки, сотни и далее. Сравнение чисел помогает заранее понять, может ли получиться натуральная разность. Например, если вычитаемое больше уменьшаемого, вычитание в пределах натуральных чисел выполнить нельзя.
Эти действия нужны в текстовых задачах: сложение помогает объединить количества, а вычитание — узнать остаток или разницу. С ними удобно проверять вычисления и находить неизвестные числа. Позже умение выполнять действия и соблюдать порядок вычислений пригодится при изучении умножения и деления.
Как называются числа при сложении и вычитании?
При сложении числа называют слагаемыми, а результат — суммой. При вычитании первое число — уменьшаемое, второе — вычитаемое, а результат — разность.
Почему слагаемые можно переставлять, а уменьшаемое и вычитаемое — нельзя?
При объединении двух количеств их порядок не меняет общий результат: 4 + 7 = 7 + 4. При вычитании важно, из какого числа вычитают: например, 9 − 4 не равно 4 − 9.
Как проверить результат вычитания?
Прибавь к разности вычитаемое. Если получилось уменьшаемое, вычитание выполнено верно: например, для 12 − 5 = 7 проверка такая: 7 + 5 = 12.
Можно ли в пределах натуральных чисел вычесть из меньшего числа большее?
Нет, результат такого вычитания не будет натуральным числом. Например, 4 − 9 нельзя выполнить в пределах натуральных чисел.
В каком порядке выполнять сложение и вычитание в выражении со скобками?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем сложение и вычитание без скобок выполняют по порядку слева направо.
§ 2. Сложение и вычитание натуральных чисел
