"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Сложение объединяет количества, а вычитание помогает узнать, сколько осталось или на сколько одно число больше другого. В записи a + b числа a и b — слагаемые, а результат — сумма; в записи a − b число a называют уменьшаемым, b — вычитаемым, а результат — разностью. Сложение можно проверять переменой мест слагаемых и группировкой, а вычитание — обратным сложением. Эти действия нужны для вычислений, решения задач и работы с числовыми выражениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Слагаемые — это числа, которые складывают. В записи a + b числа a и b являются слагаемыми: каждое показывает отдельное количество, которое объединяют с другим. Понимание этой роли помогает читать выражение и выбирать, какие числа нужно сложить.
Сумма — результат сложения, а также сама запись a + b. Она показывает общее количество после объединения слагаемых. Сумма не меньше каждого натурального слагаемого: например, 6 + 3 больше 6, а если прибавить 0, сумма останется равной 6.
Уменьшаемое и вычитаемое — числа в записи a − b. Из уменьшаемого a вычитают вычитаемое b, то есть уменьшают количество a на b единиц. Их названия помогают не перепутать, какое число стоит первым и какое число отнимают.
Разность — результат вычитания и сама запись a − b. Она показывает, сколько осталось или на сколько уменьшаемое больше вычитаемого. В натуральных числах вычитание возможно, когда уменьшаемое не меньше вычитаемого, то есть a ≥ b.
При сложении количества объединяются: к a предметам добавляют b предметов, и всего становится a + b. На натуральном ряду это можно представить как движение вперёд на b шагов от числа a. Поэтому сложение увеличивает число на столько единиц, сколько прибавили; если прибавить ноль, число не изменится.
Переместительное свойство говорит, что a + b = b + a: например, 18 + 7 = 7 + 18 = 25. Сочетательное свойство позволяет менять группировку: (12 + 8) + 5 = 12 + (8 + 5) = 25. Результат не меняется, потому что складываются те же количества, но можно сначала выбрать удобную пару и считать быстрее.
Вычитание связано со сложением как обратное действие. Если a − b = c, то c + b = a: к тому, что осталось, прибавляют убранное количество и получают исходное. Эта связь помогает проверить вычисление, а также найти неизвестное число: если неизвестно уменьшаемое, складывают разность и вычитаемое.
В выражениях со сложением и вычитанием без скобок действия выполняют слева направо, поскольку они имеют одинаковый порядок. Например, 20 − 6 + 3 считают так: сначала 20 − 6 = 14, затем 14 + 3 = 17. Скобки меняют порядок: в выражении 20 − (6 + 3) сначала находят сумму в скобках, а потом выполняют вычитание.
Для устного счёта числа можно разложить на разрядные слагаемые: 286 + 143 = (200 + 100) + (80 + 40) + (6 + 3). Можно также округлить одно число и поправить результат: 398 + 25 = 400 + 25 − 2. При письменном вычислении единицы записывают под единицами, десятки под десятками, а сотни под сотнями; так легче не перепутать разряды.
| Действие | Как называются числа | Результат | Связь или свойство |
|---|---|---|---|
| Сложение: a + b | a и b — слагаемые | Сумма | a + b = b + a |
| Вычитание: a − b | a — уменьшаемое, b — вычитаемое | Разность | (a − b) + b = a |
| Как проверить результат | Разность и вычитаемое | Уменьшаемое | Разность + вычитаемое = уменьшаемое |
| Переместительное и сочетательное свойства сложения | Слагаемые | Сумма | a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c) |
| Условие выполнения действия в натуральных числах | Уменьшаемое a и вычитаемое b | Разность a − b | a ≥ b |
Сначала найди в таблице нужное действие, затем посмотри, как называются его числа и результат. Строки о проверке и свойствах подсказывают, как контролировать вычисление и упрощать выражения. Условие a ≥ b напоминает, когда разность будет натуральным числом.
Задача 1. Вычислите 286 + 143 удобным способом. В записи оба числа — слагаемые, поэтому их можно переставлять и раскладывать на разрядные части. Выберем разложение: так складываются отдельно сотни, десятки и единицы.
Ответ: 429. Можно проверить вычисление, сложив 143 + 286: по переместительному свойству получится та же сумма. Такой способ удобен, когда числа легко разложить на разряды.
Задача 2. Вычислите 700 − 268 и проверьте результат. Здесь 700 — уменьшаемое, а 268 — вычитаемое, поэтому менять их местами нельзя. При вычислении по разрядам удобно занять один десяток, а затем одну сотню, чтобы выполнить вычитание единиц и десятков.
Ответ: 432. Проверка верна, потому что разность вместе с вычитаемым дала уменьшаемое. Если бы при сложении получилось число, отличное от 700, пришлось бы проверить вычисление заново.
Задача 3. В трёх коробках было 125, 238 и 175 карандашей. Из общего количества раздали 196 карандашей. Сначала нужно найти общее число карандашей, а затем вычесть раздданные; значит, выражение будет таким: (125 + 238 + 175) − 196.
Ответ: 338 карандашей осталось. В скобках мы сначала вычислили сумму в коробках, а потом выполнили вычитание. Приём с 200 и поправкой +4 удобен, потому что 196 близко к круглому числу.
Ошибка: считать, что сумма всегда больше каждого слагаемого. Прибавление нуля не увеличивает количество, поэтому 8 + 0 = 8. Такое правило иногда запоминают без учёта нуля; проверь себя, подставив ноль и сравнив результат с слагаемым.
Ошибка: менять местами уменьшаемое и вычитаемое, будто вычитание похоже на сложение. При перестановке может измениться результат: 9 − 4 = 5, но 4 − 9 не является натуральным числом. Проверяй себя по смыслу записи: отнимают второе число от первого.
Ошибка: вычитать числа, не сверяясь с их местами в записи. В выражении a − b уменьшаемое a стоит первым, а вычитаемое b — вторым; менять этот порядок нельзя. Перед счётом назови оба числа, а после проверь результат сложением разности и вычитаемого.
Ошибка: в выражении без скобок сначала выполнять все сложения, а потом вычитания. Сложение и вычитание равноправны по порядку действий, поэтому считают слева направо. Например, в 15 − 7 + 2 сначала считают 15 − 7; чтобы проверить себя, поставь действия по порядку над выражением.
Для сложения и вычитания нужно уметь читать и записывать натуральные числа, сравнивать их и представлять по разрядам. Разрядное представление помогает складывать сотни с сотнями, десятки с десятками и единицы с единицами. Сравнение чисел также позволяет заранее проверить, возможно ли вычитание в натуральных числах.
Сложение и вычитание понадобятся при изучении умножения и деления, буквенных выражений и текстовых задач. Умение соблюдать порядок действий помогает вычислять длинные выражения, а обратная связь между вычитанием и сложением — проверять ответы и находить неизвестные числа. В повседневных задачах эти действия помогают считать предметы, расходы и оставшееся количество.
Почему при сложении можно менять слагаемые местами, а при вычитании — нет?
При сложении мы объединяем количества, поэтому порядок их перечисления не меняет общий результат: 4 + 7 = 7 + 4. При вычитании важно, из какого числа вычитают: 7 − 4 = 3, а 4 − 7 не является натуральным числом.
Как проверить, правильно ли выполнено вычитание?
Прибавь к разности вычитаемое. Если получилось уменьшаемое, вычитание выполнено верно: например, 12 − 5 = 7, а 7 + 5 = 12.
Можно ли вычесть большее натуральное число из меньшего?
В натуральных числах такая разность не получается: например, 5 − 8 не является натуральным числом. Чтобы разность a − b была натуральной, уменьшаемое a должно быть не меньше вычитаемого b.
Когда в выражении со сложением и вычитанием нужно сначала выполнять действие в скобках?
Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия внутри них. Затем оставшиеся сложение и вычитание выполняют слева направо.
Как упростить сложение нескольких чисел?
Используй переместительное свойство, чтобы поставить рядом удобные слагаемые, и сочетательное, чтобы сгруппировать их. Например, в сумме 125 + 238 + 175 удобно сначала сложить 125 и 175.
§ 2. Сложение и вычитание натуральных чисел
