5. Меньше или больше

Определения и обозначения

Сравнение чисел — это выяснение, какое из двух чисел меньше, больше или равно другому. Например, можно сравнить количество страниц в двух тетрадях. Результат сравнения помогает расположить числа в нужном порядке.

Знак «<» читают «меньше» и ставят между числами, если первое число меньше второго. В записи 4 < 9 число 4 находится слева и действительно меньше 9. Такой знак коротко показывает результат сравнения.

Знак «>» читают «больше» и используют, если первое число больше второго. Запись 12 > 7 означает: двенадцать больше семи. Открытая сторона знака обращена к большему числу.

Неравенство — это запись сравнения чисел с помощью знака «<» или «>». Например, 25 > 18 — неравенство, которое читают слева направо: «двадцать пять больше восемнадцати». Такие записи позволяют быстро сравнивать числа и упорядочивать их.

Как это устроено

Слова «меньше» и «больше» связаны с порядком натуральных чисел при счёте. Если число встречается раньше, оно меньше, а если позже — больше: 6 < 7, потому что при счёте сначала называют 6, а затем 7. Каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего.

У двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше то, у которого цифр больше. Причина в том, что дополнительная цифра слева означает появление более высокого разряда: десятков, сотен, тысяч. Поэтому любое трёхзначное число больше любого двузначного, например 100 > 99.

Если количество цифр одинаковое, сравнивают цифры одинаковых разрядов. Сначала смотрят на высший разряд, потому что он сильнее всего влияет на значение числа. Так, в четырёхзначных числах сначала сравнивают тысячи, а не единицы.

Если цифры высшего разряда равны, переходят к следующему разряду. Сравнение продолжают до первого различия: именно оно определяет, какое число больше. Например, в числах 572 и 589 сотни одинаковы, но 7 десятков меньше 8 десятков, поэтому 572 < 589.

Когда результат найден, его записывают знаком «<» или «>» между числами. Нужно проверить, какое число стоит слева: если оно меньше правого, ставят «<», если больше — «>». Например, 3047 < 3074 читают так: «три тысячи сорок семь меньше трёх тысяч семидесяти четырёх».

Как сравнивать натуральные числа

Таблица показывает порядок действий в разных случаях. Сначала определите количество цифр, затем сравнивайте разряды слева направо. Если все цифры совпали, числа равны.

Разбор задач

Задача 1. Сравните 8 и 13.

Числа нужно сопоставить с порядком натуральных чисел, а затем выбрать знак. У числа 8 одна цифра, у числа 13 две цифры. Поэтому 13 располагается дальше в натуральном ряду и больше.

1. Сравним количество цифр: у 8 одна цифра, у 13 две.
2. Число с двумя цифрами больше числа с одной цифрой.
3. Первым записано 8, поэтому знак ставим так: 8 < 13.

Ответ: 8 < 13.

Задача 2. Сравните 572 и 589.

Оба числа трёхзначные, поэтому одного подсчёта цифр недостаточно. Начинаем с сотен: в обоих числах стоит цифра 5. Переходим к десяткам и видим первое различие.

1. Сотни равны: 5 = 5.
2. Сравниваем десятки: 7 < 8.
3. Раз десятков в 572 меньше, чем в 589, всё число 572 меньше 589.

Ответ: 572 < 589.

Задача 3. Расположите числа 3047, 3470, 3407 и 3074 в порядке возрастания.

Все числа четырёхзначные, поэтому сравниваем их по разрядам слева направо. У всех одинаковая цифра тысяч — 3. Затем сравниваем сотни: у 3047 и 3074 стоит 0, а у 3407 и 3470 — 4, значит первые два числа меньше последних.

1. Среди чисел с сотнями 0 сравниваем десятки: 4 < 7, поэтому 3047 < 3074.
2. Среди чисел с сотнями 4 сравниваем десятки: 0 < 7, поэтому 3407 < 3470.
3. Объединяем результаты: сначала идут числа с 0 сотен, затем с 4 сотнями.

Ответ: 3047 < 3074 < 3407 < 3470.

Типичные ошибки

Сравнивать только по первой цифре. Если цифры высшего разряда совпали, первая проверка ничего не решила. Нужно перейти к следующему разряду и остановиться на первом различии; например, 438 < 452.

Смотреть только на последнюю цифру. Большая цифра единиц не делает всё число большим, если старшие разряды меньше: 219 < 305, хотя 9 > 5. Проверяйте числа слева направо, начиная с высшего разряда.

Путать знаки «<» и «>». Ошибка возникает, когда знак выбирают без учёта положения чисел. Прочитайте запись слева направо и убедитесь, что открытая сторона обращена к большему числу.

Пропускать нули внутри числа. Ноль занимает свой разряд, поэтому 3047 нельзя воспринимать как набор цифр без сотен. Запишите разряды мысленно или в таблице и сравнивайте их по порядку.

Связь с другими темами

Для сравнения нужно знать натуральный ряд и порядок следования натуральных чисел. Именно он объясняет, почему число, названное позже при счёте, больше предыдущего. Без этого трудно понять смысл знаков.

Также пригодится запись чисел в десятичной системе. Значение цифры зависит от её разряда: 5 в числе 500 означает сотни, а 5 в числе 50 — десятки. Поэтому сравнение начинают слева.

Навык сравнения нужен при упорядочивании чисел и решении неравенств. Он помогает быстро определить границы числовых промежутков и выбрать подходящий ответ в следующих темах.

Что запомнить

• Знак «<» означает «меньше», знак «>» — «больше».
• У двух разных натуральных чисел больше число с большим количеством цифр.
• Числа с одинаковым количеством цифр сравнивают, начиная с высшего разряда.
• Если цифры разряда равны, переходят к следующему разряду.
• Нули внутри числа сохраняют свои разряды.
• Неравенство читают слева направо.