"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Шкала помогает считывать значения с термометра, линейки и других приборов, а координатный луч — показывать числа и положение точек. Чтобы правильно читать шкалу, нужно считать промежутки между штрихами и находить цену деления. На координатном луче каждое число связано с расстоянием от начала отсчёта. Зная координаты точек, можно сравнить их положение и вычислить расстояние между ними.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Шкала — ряд отметок на приборе или изображении, расположенных в определённом порядке и соответствующих значениям величины. Например, по шкале термометра узнают температуру, а по шкале линейки — длину. Значения могут быть подписаны не у каждого штриха, поэтому нужно уметь находить их по соседним отметкам.
Цена деления — значение величины, которое соответствует одному промежутку между соседними штрихами шкалы. Чтобы понять, на сколько изменяется показание при переходе от отметки к отметке, находят именно эту величину. Например, если цена деления равна 2 градусам, то каждый следующий штрих показывает температуру на 2 градуса выше предыдущего.
Координатный луч — луч с началом отсчёта, единичным отрезком и выбранным направлением, на котором можно отмечать числа. Начало отсчёта обычно обозначают числом 0, а единичный отрезок принимают за 1. Такой луч нужен, чтобы наглядно показывать числа и сравнивать их расположение.
Координата точки — число, показывающее положение точки на координатном луче. Например, запись A(5) означает, что точка A находится на расстоянии пяти единичных отрезков от начала отсчёта. По координате можно определить место точки и сравнить его с положением других точек.
Чтобы найти цену деления шкалы, сначала выбирают две подписанные отметки. Вычитают меньшее значение из большего, а затем делят полученную разность на число промежутков между отметками. Так определяют, сколько величины приходится на один шаг шкалы, даже если промежуточные значения не подписаны. Например, между 10 и 30 десять промежутков, поэтому цена деления равна (30 − 10) : 10 = 2.
Штрихи показывают границы значений, а промежутки — шаги между этими границами. Если считать сами штрихи, количество получится на единицу больше числа промежутков: между двумя крайними штрихами есть отдельный штрих на каждом конце. Из-за этого деление разности на число штрихов даст неверный ответ. Проверка проста: мысленно проведи пальцем от первого выбранного штриха к последнему и считай каждый переход.
Чтобы построить координатный луч, сначала отмечают начало отсчёта и подписывают его числом 0. Затем выбирают единичный отрезок — одинаковый отрезок, который считают за одну единицу, — и задают направление луча. После этого откладывают единичный отрезок столько раз, сколько нужно, сохраняя равные расстояния между соседними числами. Единый размер шагов нужен, чтобы координаты точно соответствовали числам.
Чтобы отметить число на луче, отсчитывают от нуля указанное количество единичных отрезков в выбранном направлении и ставят точку. Чтобы определить координату уже отмеченной точки, считают, сколько таких отрезков отделяет её от начала отсчёта. Отсчёт начинают именно от нуля, потому что координата описывает положение относительно начала, а не относительно произвольного места. Например, если до точки уложилось пять единичных отрезков, её координата равна 5.
Координаты помогают сравнить положение точек: на луче точка с большей координатой находится правее точки с меньшей координатой. Расстояние между точками сначала находят в единичных отрезках — вычитают меньшую координату из большей. Если один единичный отрезок имеет длину 2 см, то четыре таких отрезка дают расстояние 8 см. Значит, для ответа в сантиметрах число шагов нужно умножить на длину одного шага.
В таблице собраны элементы, которые помогают читать шкалу и работать с координатным лучом. Сначала найди, что именно показывает нужный элемент, а затем воспользуйся способом определения из третьего столбца. Примеры показывают, как кратко записывать результат.
| Элемент | Что показывает | Как определить или использовать | Пример |
|---|---|---|---|
| Начало отсчёта | От какой отметки начинают считать значения | На шкале или луче находят нулевую отметку либо другую указанную начальную точку | 0 на координатном луче |
| Единичный отрезок | Какой длине соответствует одна единица | Выбирают отрезок, равный 1 единице, и откладывают его нужное число раз | 1 см соответствует 1 единице |
| Деление шкалы | Промежуток между соседними штрихами | Считают именно промежутки, а не штрихи | Промежуток между 3 и 4 |
| Цена деления | Значение одного промежутка | Разность значений двух подписанных отметок делят на число промежутков между ними | 2 единицы |
| Координата точки | Положение точки на координатном луче | Считают единичные отрезки от начала отсчёта до точки | A(5) |
Задача 1. На шкале подписаны отметки 10 и 30. Между ними 10 равных промежутков. На какой отметке находится указатель, если он расположен на третьем штрихе после 10? Сначала выясним, сколько приходится на один промежуток, ведь без этого нельзя узнать значение неподписанного штриха. Затем прибавим три шага к значению 10.
Задача 2. Постройте координатный луч, приняв за единичный отрезок 1 см, и отметьте точки A(2), B(5), C(7). Какая точка расположена правее всех? Координата указывает, сколько сантиметровых шагов нужно отложить от нуля. Сравним числа после того, как поймём, где окажутся точки.
Задача 3. На координатном луче точка M имеет координату 4, а точка N — координату 9. Найдите расстояние MN, если единичный отрезок равен 2 см. Сначала узнаем, сколько единичных шагов находится между точками. Затем переведём эти шаги в сантиметры, потому что координаты сами по себе выражают количество единичных отрезков.
Ошибка: считать штрихи вместо промежутков и из-за этого неверно находить цену деления. Так случается, когда ученик пересчитывает все видимые отметки, включая обе крайние. Проверь себя: между двумя крайними штрихами переходов всегда на один меньше, чем штрихов. Считай шаги от одного штриха к следующему, а не сами штрихи.
Ошибка: не учитывать направление отсчёта и принимать ближайшее подписанное число за показание. На некоторых шкалах значения возрастают не в ту сторону, куда смотрит указатель, поэтому одного взгляда на расстояние до числа недостаточно. Проверь, увеличиваются значения вправо или влево, и двигайся от подписанной отметки по промежуткам. Полученное показание должно соответствовать этому направлению.
Ошибка: откладывать координату от произвольной точки вместо начала отсчёта. Это приводит к тому, что точка окажется не там, где требует её число. Координата всегда отсчитывается от обозначенного начала, обычно от 0. Для проверки найди ноль и пересчитай от него единичные отрезки до точки.
Ошибка: путать координату точки с длиной единичного отрезка или расстоянием между двумя точками. Например, координата 5 сообщает число шагов от нуля, но сама по себе не означает 5 см, если единичный отрезок имеет другую длину. Проверь, что именно спрашивают: положение одной точки, длину одного шага или расстояние между точками. Для расстояния сначала находят разность координат, а затем учитывают длину единичного отрезка.
Для этой темы пригодятся натуральные числа и умение сравнивать их: по координатам нужно понимать, какое число больше. Также нужны знания об отрезке и луче, а для вычисления расстояния — навык измерения длины. Шкалы помогают применять эти знания при работе с линейкой и другими измерительными приборами. Позже координатная идея встретится на координатной прямой, в графиках и при изучении координат на плоскости.
Почему при нахождении цены деления считают промежутки, а не штрихи?
Значение меняется от одного штриха к соседнему, поэтому одному шагу соответствует промежуток между ними. Например, между штрихами 10 и 30 может быть 10 промежутков, хотя штрихов будет 11.
Как определить показание шкалы, если нужная отметка не подписана?
Сначала найдите цену деления по двум подписанным отметкам. Затем посчитайте промежутки от ближайшей известной отметки до нужного штриха и прибавьте или вычтите соответствующее значение с учётом направления шкалы.
Можно ли выбрать любой единичный отрезок при построении координатного луча?
Да, длину единичного отрезка выбирают удобную для построения. Главное — считать её за одну единицу и откладывать все такие отрезки одинаково.
Чем координата точки отличается от расстояния между точками?
Координата показывает положение одной точки относительно начала отсчёта. Расстояние между точками показывает, сколько длины лежит между ними; его находят по разности координат и длине единичного отрезка.
Как найти расстояние между точками, если известны их координаты?
Вычтите меньшую координату из большей — получится число единичных отрезков между точками. Чтобы получить расстояние в сантиметрах или другой мере длины, умножьте это число на длину одного единичного отрезка.
4. Шкалы и координаты
