"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Уравнение — это равенство с неизвестным числом, которое нужно найти. Найденное значение называют корнем уравнения: оно превращает равенство в верное. Чтобы решить уравнение, применяют действия, обратные данным, а затем обязательно делают проверку подстановкой. Эти правила помогают находить неизвестные числа и составлять решения задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число. Неизвестное чаще всего обозначают буквой, например x: x + 5 = 12. Числовое равенство состоит только из известных чисел, поэтому его можно сразу проверить вычислением.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, 7 — корень уравнения x + 5 = 12, потому что после подстановки получается 7 + 5 = 12. Понятие корня помогает отличить правильное решение от случайной записи числа.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Найденный результат нельзя считать верным только потому, что действие выполнено по знакомому правилу. Ответ обязательно проверяют подстановкой в исходное уравнение.
Левая и правая части уравнения — это выражения, стоящие соответственно до и после знака равенства. В уравнении 4x + 1 = 13 выражение 4x + 1 является левой частью, а число 13 — правой. Такое разделение нужно, чтобы сравнивать значения обеих частей.
Проверить, является ли заданное число корнем, можно подстановкой. Число записывают вместо буквы сразу в обеих частях исходного уравнения, затем выполняют вычисления. Если получились одинаковые значения, равенство верно и число является корнем; если значения различаются, это не корень.
В простых уравнениях неизвестное находят обратным действием, потому что каждое арифметическое действие можно отменить противоположным ему. Сложение отменяется вычитанием, вычитание — сложением, умножение — делением, а деление — умножением. Благодаря этому неизвестное постепенно освобождается от действия, связывающего его с известными числами.
В уравнении x + a = b неизвестное является слагаемым, поэтому для его нахождения из суммы b вычитают известное слагаемое a. В уравнении x − a = b неизвестное уменьшаемое: чтобы восстановить его, к разности b прибавляют вычитаемое a. После действия получают значение x, но его всё равно нужно проверить.
В равенстве a · x = b неизвестное является множителем. Произведение b делят на известный множитель a, потому что деление на множитель отменяет умножение. В равенстве x : a = b неизвестное — делимое, поэтому для его нахождения частное b умножают на делитель a.
Проверка подстановкой нужна потому, что ошибка может появиться даже при правильно выбранном способе. Найденное значение возвращают в исходную запись, а не в промежуточную строку. Если левая и правая части совпали, решение подтверждено; если нет, нужно найти и исправить ошибку.
В таблице сначала определите, каким компонентом действия является неизвестное, а затем примените соответствующее правило. В последнем столбце указано, какое действие выполнить для проверки. Такая схема помогает не путать похожие виды уравнений.
| Вид уравнения | Как найти неизвестное | Проверка |
|---|---|---|
| x + a = b | Из b вычесть a | Подставить найденное значение вместо x |
| x − a = b | К b прибавить a | Подставить найденное значение вместо x |
| a · x = b | b разделить на a | Умножить найденное значение на a |
| x : a = b | b умножить на a | Разделить найденное значение на a |
Нужно найти неизвестное слагаемое. Известна сумма 15 и одно слагаемое 8, поэтому используем вычитание. После вычисления проверим найденное число в исходном уравнении.
Ответ: x = 7.
Здесь x — неизвестный множитель, а 42 — произведение. Неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель. Затем проверяем результат умножением.
Ответ: x = 7.
Неизвестное здесь входит в два действия: сначала число x умножают на 3, затем прибавляют 7. Поэтому сначала обратным действием убираем сложение, а потом находим неизвестный множитель. Каждый шаг выполняем с проверкой смысла действия.
Ответ: x = 6.
Иногда корнем называют любое число, поставленное вместо неизвестного. Так делают, если забывают, что результат нужно подтвердить равенством. Подставьте число в обе части исходного уравнения и сравните их значения.
При поиске неизвестного слагаемого некоторые складывают известные числа. Ошибка возникает из-за смешения правила нахождения суммы и слагаемого. В записи x + a = b нужно именно вычесть a из b.
При поиске неизвестного множителя можно по ошибке разделить известный множитель на произведение. Причина — перестановка делимого и делителя в формуле. Проверьте себя обратным действием: найденное число, умноженное на известный множитель, должно дать произведение.
Некоторые не делают проверку или проверяют только промежуточную запись. Это не показывает, верно ли решено исходное уравнение. Подставляйте ответ именно в начальное равенство и вычисляйте обе его части.
До изучения уравнений нужно уметь выполнять действия с натуральными числами и находить неизвестный компонент арифметического действия. Эти навыки позволяют сразу выбрать нужное обратное действие и правильно вычислить результат.
Корень и проверка подстановкой пригодятся при решении более сложных уравнений. Уравнения также используют в задачах, когда неизвестную величину сначала обозначают буквой, а затем составляют равенство по условию.
Чем уравнение отличается от обычного равенства?
Обычное числовое равенство содержит только известные числа, например 7 + 3 = 10. В уравнении есть неизвестное число, обозначенное буквой, например x + 3 = 10.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это такое значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, число 7 — корень уравнения x + 3 = 10.
Как проверить, является ли число корнем уравнения?
Нужно подставить это число вместо неизвестного в исходное уравнение. Затем вычислить левую и правую части: если их значения равны, число является корнем.
Как найти неизвестное слагаемое?
Неизвестное слагаемое находят вычитанием: из суммы вычитают известное слагаемое. Например, в уравнении x + 8 = 15 получаем x = 15 − 8 = 7.
Зачем проверять решение уравнения?
Проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или выборе действия. Подстановкой можно убедиться, что найденное число действительно делает исходное равенство верным.
10. Уравнение
