§ 3. Умножение и деление натуральных чисел

Определения и обозначения

Умножение натуральных чисел — действие, которое заменяет сложение одинаковых слагаемых. Например, 5 · 3 означает 5 + 5 + 5. Такая запись удобна, когда одно и то же число нужно сложить несколько раз.

Множители — числа, которые перемножают, а произведение — результат умножения. В записи 5 · 3 = 15 числа 5 и 3 — множители, а 15 — произведение. Эти названия помогают точно понимать, какие числа участвуют в действии.

Деление натуральных чисел — действие, обратное умножению: делимое делят на делитель и получают частное. В записи 15 : 3 = 5 число 15 — делимое, 3 — делитель, 5 — частное. Деление помогает найти неизвестный множитель или разделить число на равные части.

Деление с остатком представляет делимое как произведение делителя и неполного частного с добавлением остатка, который меньше делителя. Например, 17 = 5 · 3 + 2. Такая запись нужна, когда нацело разделить числа нельзя: здесь остаток равен 2.

Как это устроено

Умножение можно понимать как сложение одинаковых слагаемых, потому что каждый множитель показывает, сколько раз берётся другое число: 6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Если увеличить один множитель в несколько раз, то во столько же раз увеличится и произведение, когда второй множитель не меняется. Например, 6 · 8 в два раза больше, чем 6 · 4. Если же поменять множители местами, произведение останется тем же: 6 · 4 = 4 · 6, ведь количество групп и число предметов в каждой группе можно поменять ролями.

Многозначные числа умножают поразрядно, потому что каждая цифра показывает не просто число единиц, а количество единиц, десятков, сотен и так далее. Например, при умножении на 23 сначала умножают на 3 единицы, затем на 2 десятка. Второе частичное произведение записывают со сдвигом на один разряд: фактически умножают на 20, а не на 2. Затем частичные произведения складывают, учитывая, что их разряды должны совпадать.

Деление связано с умножением обратным образом: частное — это число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Например, если 56 : 7 = 8, то 8 · 7 = 56. Поэтому, чтобы найти частное, можно рассуждать: какой множитель нужно поставить вместо неизвестного, чтобы произведение стало равным делимому? Эта связь объясняет и проверку деления.

При делении многозначных чисел уголком цифры частного находят по разрядам, начиная с наиболее значимых цифр делимого. Сначала выбирают такую часть делимого, которую можно разделить на делитель, и определяют первую цифру частного. Затем умножают её на делитель, вычитают полученное число и сносят следующую цифру делимого. Повторяя эти действия, получают остальные цифры частного; каждый раз остаток должен быть меньше делителя.

При делении с остатком число, которое осталось, не может быть отрицательным: нельзя вычесть больше, чем было в делимом на данном шаге. Остаток обязан быть меньше делителя, иначе можно выделить ещё одну целую группу и увеличить частное. Делить на ноль нельзя, потому что не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое. При делении нуля на ненулевое число частное, напротив, равно нулю.

Умножение и деление натуральных чисел

Пользуйся таблицей, чтобы не путать названия компонентов и понимать, какое действие обратное. Если нужно проверить деление, найди в строке проверки нужное правило. Для деления с остатком отдельно проверь равенство и то, что остаток меньше делителя.

Разбор задач

Вычислить 24 · 3 и объяснить смысл выражения

1. Множитель 3 показывает, что число 24 берётся три раза: 24 + 24 + 24.

2. Складываем: 24 + 24 = 48, затем 48 + 24 = 72. Значит, произведение равно 72.

3. Проверяем обратным действием: 72 : 3 = 24. Проверка подтверждает вычисление.

Ответ: 24 · 3 = 72; это сумма трёх одинаковых слагаемых 24.

Вычислить 864 : 24 и проверить результат умножением

1. Нужно найти число, которое при умножении на 24 даёт 864. Начинаем письменное деление: 86 десятков делим на 24, получаем 3 десятка, потому что 24 · 3 = 72, а 24 · 4 = 96 — уже больше.

2. Вычитаем 72 из 86 и получаем 14 десятков. Сносим 4 единицы: получается 144. В 144 содержится шесть раз по 24, ведь 24 · 6 = 144.

3. Записываем найденные цифры частного: 36. Проверяем: 36 · 24 = 36 · (20 + 4) = 720 + 144 = 864.

Ответ: 864 : 24 = 36.

Разделить 1573 на 28 с остатком

1. Ищем наибольшее число раз, сколько 28 помещается в 1573. 28 · 50 = 1400, а 28 · 6 = 168; вместе это 28 · 56 = 1568.

2. Вычитаем: 1573 − 1568 = 5. Остаток 5 меньше делителя 28, значит, дальше выделить ещё одну группу нельзя.

3. Проверяем запись деления с остатком: 28 · 56 + 5 = 1568 + 5 = 1573. Равенство верное, и условие для остатка выполнено.

Ответ: 1573 : 28 = 56 (ост. 5).

Типичные ошибки

При письменном умножении или делении иногда сдвигают цифры не на тот разряд. Так происходит, если смотреть только на цифру и забывать, что она может обозначать десятки или сотни. Проверяй, на какой разряд умножал или делил, и выравнивай разряды в записи; для умножения оцени, правдоподобен ли размер ответа.

Можно перепутать делимое и делитель, особенно когда числа записаны рядом в условии задачи. Делимое — число, которое делят, а делитель показывает, на сколько частей делят или размер каждой группы. Перед вычислением подпиши компоненты, а после проверь результат умножением частного на делитель.

Некоторые считают деление переместительным или допускают деление на ноль. Эти свойства не работают: например, 12 : 3 и 3 : 12 дают разные результаты, а деление на ноль не имеет смысла. Проверь себя обратным действием: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое; при делителе 0 такую проверку выполнить нельзя.

При делении с остатком иногда останавливаются, хотя остаток равен делителю или больше него. Это значит, что можно выделить ещё одну группу, поэтому частное найдено не полностью. Проверь остаток: он должен быть неотрицательным и строго меньше делителя, а равенство делимое = делитель · частное + остаток должно выполняться.

Связь с другими темами

Для умножения и деления нужны сложение и вычитание натуральных чисел, понимание разрядов и знание таблицы умножения. Разрядный состав помогает правильно выполнять письменные вычисления, а вычитание используется на каждом шаге деления уголком. Эти действия пригодятся при вычислении числовых выражений и решении текстовых задач.

Дальше умножение и деление понадобятся при работе с дробями. Порядок выполнения действий подскажет, когда считать каждую часть выражения, а распределительное свойство поможет раскрывать скобки и упрощать вычисления. Связь деления с умножением позволяет находить неизвестные компоненты действий.

Что запомнить

• Умножение натуральных чисел можно заменить сложением одинаковых слагаемых.
• В произведении множители можно менять местами: от перестановки множителей произведение не изменяется.
• Деление — действие, обратное умножению.
• Делить на ноль нельзя.
• При делении с остатком остаток меньше делителя.
• Результат деления проверяют умножением.
• Для деления с остатком используют равенство: делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток.