"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Умножение помогает быстро складывать одинаковые слагаемые, а деление показывает, на сколько равных частей можно разделить число или сколько раз одно число содержится в другом. В теме важно знать названия компонентов действий, свойства умножения, связь умножения и деления, правила действий с нулём и единицей. Отдельно разбирается деление с остатком: его результат проверяют равенством и условием, что остаток меньше делителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение натуральных чисел — это сложение одинаковых слагаемых. Запись a · b означает, что число a сложили само с собой b раз. Такое обозначение нужно, чтобы коротко записывать повторяющееся сложение.
Числа, которые умножают, называют множителями, а результат умножения — произведением. В записи 7 · 3 = 21 числа 7 и 3 являются множителями, а 21 — произведением. Эти названия помогают понимать, какую роль играет каждое число в примере.
При делении число, которое делят, называют делимым, число, на которое делят, — делителем, а результат — частным. В равенстве 20 : 5 = 4 число 20 — делимое, 5 — делитель, 4 — частное. Частное можно проверить умножением: 4 · 5 должно дать 20.
Деление с остатком записывают так: a = b · q + r, где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток. Остаток обязательно меньше делителя: r < b. Это показывает, что из остатка уже нельзя выделить ещё одну целую группу.
Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых, потому что все группы имеют одно и то же количество предметов. Например, четыре коробки по шесть карандашей содержат 6 + 6 + 6 + 6 карандашей, то есть 6 · 4. Множители можно поменять местами: 6 · 4 = 4 · 6, ведь общее количество предметов не изменяется, меняется только способ подсчёта групп.
Переместительное свойство записывают так: a · b = b · a. Сочетательное свойство позволяет по-разному объединять три множителя: (a · b) · c = a · (b · c). Благодаря этим свойствам можно сначала перемножить удобные числа, не меняя результата, например 25 · 37 · 4 удобно превратить в (25 · 4) · 37.
Распределительное свойство связывает умножение со сложением и вычитанием. Чтобы умножить число на сумму, умножают его на каждое слагаемое: a · (b + c) = a · b + a · c; для разности действует правило a · (b − c) = a · b − a · c. Это помогает заменять трудный множитель суммой или разностью удобных чисел, например 6 · 19 = 6 · (20 − 1).
Деление является действием, обратным умножению, потому что по произведению и одному множителю оно позволяет найти другой множитель. Чтобы найти частное a : b, нужно подобрать число q, для которого b · q = a. Делить можно только на число, не равное нулю: умножение на ноль всегда даёт ноль и не позволяет получить ненулевое делимое.
При делении с остатком сначала находят наибольшее целое число раз, которое делитель содержится в делимом. Затем вычисляют, сколько осталось после вычитания произведения делителя и частного. Результат проверяют равенством a = b · q + r и неравенством r < b; если остаток равен делителю или больше него, частное можно увеличить.
| Свойство или случай | Умножение | Деление |
|---|---|---|
| Смысл действия | Сложение одинаковых слагаемых | Поиск числа групп или размера группы |
| Обозначения компонентов | a и b — множители, результат — произведение | a — делимое, b — делитель, q — частное |
| Действие с нулём | a · 0 = 0 | 0 : b = 0 при b ≠ 0; на 0 делить нельзя |
| Действие с единицей | a · 1 = a | a : 1 = a |
| Переместительное и сочетательное свойства | a · b = b · a; (a · b) · c = a · (b · c) | Таких свойств нет |
| Связь действий и проверка | Произведение можно проверить сложением | a : b = q, если b · q = a |
| Деление с остатком | — | a = b · q + r, r < b |
Таблица помогает быстро сравнить смысл действий и увидеть, какие правила относятся только к умножению. При решении примера сначала определите его вид, затем найдите подходящую строку. Для проверки деления используйте обратное действие — умножение, а при остатке прибавляйте его к произведению.
Особенно внимательно смотрите на строки о нуле и перемене порядка чисел. Правило для умножения нельзя автоматически переносить на деление.
Вычислите 6 · 4 и запишите умножение в виде сложения одинаковых слагаемых. Число 6 является слагаемым, которое повторяется, а 4 показывает количество повторений.
Ответ: 6 · 4 = 24, умножение записывается как 6 + 6 + 6 + 6.
Вычислите 25 · 37 · 4 удобным способом. В выражении есть множители 25 и 4, произведение которых легко найти, поэтому их выгодно поставить рядом.
Ответ: 3700. Мы не изменили значение выражения, а только выбрали более удобный порядок действий.
Разделите 157 на 12 с остатком и проверьте результат. Нужно найти самое большое целое частное, при котором произведение 12 на это частное не превышает 157.
Ответ: 157 : 12 = 13 (остаток 1). Равенство и неравенство подтверждают правильность решения.
Нельзя считать, что при делении можно менять местами делимое и делитель. Такая ошибка появляется из-за переместительного свойства умножения, но 12 : 3 и 3 : 12 — разные действия. Проверяйте результат обратным умножением: делитель · частное должен дать делимое.
Не путайте умножение на ноль и деление на ноль. Произведение a · 0 равно 0, а запись a : 0 не имеет смысла, потому что ни одно число при умножении на 0 не даст ненулевое делимое. Перед делением убедитесь, что делитель не равен нулю.
При раскрытии скобок нельзя умножать только на первое число. В выражении a · (b + c) нужно умножить a и на b, и на c, а затем сложить результаты; для разности второе произведение вычитают. Полезно мысленно зачеркнуть скобки и проверить, что каждый член внутри них получил множитель.
Остаток не может быть равен делителю или превышать его. Так бывает, когда частное выбрали слишком маленьким и деление остановили рано. Умножьте делитель на частное, прибавьте остаток и отдельно проверьте r < b.
До изучения темы нужны таблица сложения и вычитания, смысл сложения одинаковых слагаемых и знание порядка выполнения арифметических действий. Эти умения помогают понимать запись умножения и не ошибаться в вычислениях.
Умножение и деление встречаются в текстовых задачах, при вычислении значений выражений и при изучении дробей. Их свойства пригодятся дальше для упрощения выражений и удобного счёта.
Почему умножение можно представить как сложение?
При умножении одинаковое слагаемое берут несколько раз. Например, 6 · 4 означает 6 + 6 + 6 + 6, поэтому умножение является короткой записью такого сложения.
Можно ли менять местами числа при делении?
Нет, деление не обладает переместительным свойством. Например, 12 : 3 = 4, а 3 : 12 не равно 4.
Что происходит при умножении числа на ноль?
Произведение любого числа и нуля равно нулю: a · 0 = 0. Это не означает, что на ноль можно делить: деление на ноль запрещено.
Как проверить деление с остатком?
Нужно умножить делитель на частное и прибавить остаток. Если получилось делимое, а остаток меньше делителя, решение верно.
Почему остаток должен быть меньше делителя?
Если остаток не меньше делителя, из него можно выделить ещё одну целую группу. Значит, деление выполнено не до конца, и частное нужно увеличить.
§ 3. Умножение и деление натуральных чисел
