10. Уравнение

Определения и обозначения

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Например, x + 7 = 12 отличается от числового равенства 5 + 7 = 12 тем, что значение x ещё нужно найти. Уравнение записывает условие задачи в коротком виде.

Корень уравнения — значение неизвестного, при котором равенство становится верным. В уравнении x + 7 = 12 корнем будет число 5, потому что 5 + 7 = 12. Не каждое число подходит: например, при x = 4 получится 4 + 7 = 11, а это неверно.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Для этого подбирают или вычисляют значение неизвестного, пользуясь действиями и их обратными действиями. Затем найденный результат проверяют в первоначальной записи.

Неизвестное обычно обозначают буквами x, y, a или другими буквами. Левая часть уравнения находится слева от знака равенства, а правая — справа. Такое обозначение позволяет рассуждать о числе, которое пока неизвестно, и составлять уравнения по условиям задач.

Как это устроено

Буква в уравнении нужна потому, что некоторое число пока неизвестно. Если в задаче спрашивают, сколько предметов было сначала, это количество можно обозначить, например, буквой x. Тогда известные действия над ним записывают так, чтобы получившееся выражение точно передавало условие задачи.

Проверка числа начинается с его подстановки вместо неизвестного. После этого отдельно вычисляют левую и правую части равенства и сравнивают результаты. Если результаты совпали, число является корнем; если не совпали, оно корнем не является.

Решение уравнения начинают с поиска неизвестного числа, при котором обе части равны. Для этого используют обратные действия: сложению соответствует вычитание, а вычитанию — сложение. Например, из x − 9 = 14 получаем x = 14 + 9, потому что вычитание 9 нужно отменить прибавлением 9.

Уравнение можно упрощать равносильными преобразованиями, которые не меняют его корни. Например, в записи x + 6 = 15 можно вычесть 6 из обеих частей: x + 6 − 6 = 15 − 6, поэтому x = 9. Одинаковое действие с обеими частями сохраняет равенство, словно на чашечных весах убрали одинаковый груз.

Слагаемое можно перенести через знак равенства, изменив его знак. Так, из x + 8 = 20 получается x = 20 − 8, а из x − 8 = 20 — x = 20 + 8. После любого способа решения подставляют найденное значение в исходное уравнение, потому что именно проверка подтверждает правильность ответа.

Основные понятия темы «Уравнение»

Таблица помогает быстро различать основные слова темы. Сначала найдите понятие в первом столбце, затем прочитайте его смысл и пример. По примеру удобно проверить, как это понятие используется в записи и решении уравнения.

Разбор задач

Проверка числа

Дано уравнение x + 7 = 12. Нужно проверить, является ли число 5 его корнем, поэтому неизвестное заменяем именно этим числом. Важно проверять исходное равенство, а не только найденный отдельно результат.

1. Подставим 5 вместо x: 5 + 7 = 12.
2. Вычислим левую часть: 5 + 7 = 12.
3. Сравним части: 12 = 12, значит равенство верно.

Ответ: число 5 является корнем уравнения. Подстановка подтвердила это.

Решение уравнения

Решим уравнение x − 9 = 14. Здесь от неизвестного отняли 9, поэтому для нахождения неизвестного применяем обратное действие — прибавляем 9. После вычисления обязательно проверяем полученное значение в исходной записи.

1. Прибавим 9 к обеим частям: x − 9 + 9 = 14 + 9.
2. Слева останется x, а справа получим 23, значит x = 23.
3. Проверим: 23 − 9 = 14, то есть 14 = 14.

Ответ: x = 23. Проверка верна, поэтому 23 — корень данного уравнения.

Уравнение по условию задачи

В коробке было несколько карандашей, затем положили ещё 8, и стало 23. Неизвестное начальное количество обозначим буквой x. Тогда к нему прибавили 8 и получили 23, поэтому составляем уравнение x + 8 = 23.

1. Вычтем 8 из обеих частей: x + 8 − 8 = 23 − 8.
2. Получим x = 15, то есть сначала в коробке было 15 карандашей.
3. Проверим по условию: 15 + 8 = 23.

Ответ: сначала в коробке было 15 карандашей. Ответ подходит и по вычислению, и по смыслу задачи, потому что после добавления 8 предметов их стало больше.

Типичные ошибки

Иногда число называют корнем, не подставив его в уравнение. Такое число может выглядеть подходящим, но одна неверная цифра нарушит равенство. Проверяйте себя вычислением обеих частей исходной записи.

При переносе слагаемого в другую часть иногда забывают изменить знак. Например, из x + 6 = 15 нельзя получить x = 15 + 6: должно быть x = 15 − 6. После переноса мысленно проверьте результат обратной подстановкой.

Ошибка возникает, если действие выполняют только с одной частью уравнения. Тогда равенство нарушается, потому что его стороны изменились по-разному. Чтобы проверить себя, убедитесь, что вычитали или прибавляли одно и то же число слева и справа.

Найденное число иногда записывают без проверки. Причиной может быть спешка или ошибка в вычислении, которую сразу не заметили. Подстановка в исходное уравнение быстро показывает, верен ли ответ.

Связь с другими темами

Для решения простых уравнений нужно уметь выполнять действия с натуральными числами и находить неизвестный компонент сложения, вычитания, умножения или деления. Эти знания подсказывают, какое обратное действие выбрать.

Уравнения особенно полезны в текстовых задачах: с их помощью условие переводят в математическую запись. В следующих классах этот способ поможет решать более сложные уравнения и находить неизвестные величины.

Что запомнить

• Уравнение — равенство с неизвестным.
• Корень уравнения превращает его в верное равенство.
• Решить уравнение — значит найти все его корни.
• Не каждое число является корнем данного уравнения.
• Проверка выполняется подстановкой найденного значения в исходное уравнение.
• При одинаковом действии с обеими частями равенство сохраняется.