"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Буквы помогают записывать свойства сложения и вычитания сразу для любых подходящих чисел. Переместительное и сочетательное свойства позволяют менять порядок и группировку слагаемых, не изменяя сумму. Правила вычитания суммы и разности помогают правильно раскрывать скобки и упрощать выражения. Эти записи нужны для удобных вычислений, преобразования буквенных выражений и решения уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переместительное свойство сложения означает, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется: a + b = b + a. Слагаемые — это числа, которые складывают. Свойство нужно, чтобы располагать их в удобном порядке.
Сочетательное свойство сложения показывает, что группировка слагаемых в скобки не меняет сумму: (a + b) + c = a + (b + c). Сначала можно сложить любые два соседних слагаемых. Это помогает объединять числа, которые удобно складываются.
Правило вычитания суммы записывается так: a − (b + c) = a − b − c. Чтобы вычесть сумму, можно отдельно вычесть каждое её слагаемое. Такое правило позволяет убрать скобки и упростить вычисление.
Правило вычитания разности имеет вид a − (b − c) = a − b + c. Сначала вычитают первое число в скобках, а второе прибавляют. Эта запись помогает не ошибиться со знаками при раскрытии скобок.
Свойства сложения можно записывать буквами, потому что буква обозначает любое число из рассматриваемых чисел. Если вместо a и b подставить конкретные значения, равенство останется верным: например, 6 + 4 = 4 + 6. Поэтому одна буквенная запись заменяет множество похожих примеров и действует при любых допустимых значениях букв.
Переместительное свойство меняет порядок слагаемых, но не сами слагаемые и не знак плюс. Благодаря этому можно поставить рядом числа, которые легко сложить, например 27 и 13. После их объединения остальные слагаемые прибавляют к полученному результату.
Сочетательное свойство позволяет изменить расстановку скобок при сложении. Это возможно потому, что при сложении результат не зависит от того, какие два слагаемых складывают первыми. Так можно объединить удобные пары, например сначала получить круглое число или десяток.
Правила вычитания следуют из связи вычитания со сложением. Запись a − b означает такое число, которое в сумме с b даёт a, поэтому вычитание можно рассматривать как действие с уменьшаемым и противоположным изменением. Если из a убрать сразу b и c, получится a − b − c, а если убрать разность b − c, то убирание второго числа отменяет часть вычитания и превращается в прибавление c.
Минус перед скобками относится ко всему выражению внутри, а не только к его первому числу. Поэтому в a − (b + c) меняются знаки у b и c: a − b − c. В a − (b − c) первый знак становится минусом, а второй — плюсом, поэтому получается a − b + c.
| Свойство или правило | Буквенная запись | Словесная формулировка | Пример применения |
|---|---|---|---|
| Переместительное свойство сложения | a + b = b + a | От перестановки слагаемых сумма не изменяется. | 8 + 12 = 12 + 8 |
| Сочетательное свойство сложения | (a + b) + c = a + (b + c) | Группировку слагаемых можно менять. | (7 + 3) + 5 = 7 + (3 + 5) |
| Вычитание суммы | a − (b + c) = a − b − c | Чтобы вычесть сумму, нужно вычесть каждое слагаемое. | 40 − (8 + 2) = 40 − 8 − 2 |
| Вычитание разности | a − (b − c) = a − b + c | Чтобы вычесть разность, нужно вычесть первое число и прибавить второе. | 40 − (8 − 2) = 40 − 8 + 2 |
Сначала определите, какое свойство или правило подходит к выражению. Затем замените буквенную форму числами или преобразуйте скобки, сохраняя знаки. После этого вычислите результат и при необходимости проверьте его обратным действием.
В таблице особенно важно сравнить две последние строки. В них перед скобками стоит минус, но после раскрытия скобок знаки внутри ведут себя по-разному из-за плюса или минуса между числами.
Нужно сложить выражение так, чтобы числа 27 и 13 оказались рядом. Буква b остаётся слагаемым, поэтому её значение для преобразования не требуется. Используем переместительное свойство для перестановки и сочетательное — для группировки.
Ответ: 40 + b. Если значение b станет известно, его можно будет прибавить к 40.
В скобках находится сумма 20 + 6, а перед скобками стоит минус. Можно сразу применить правило вычитания суммы, не вычисляя сумму в скобках отдельно. Так мы получим выражение без скобок.
Ответ: 30. Проверка даёт тот же результат: 20 + 6 = 26, а 56 − 26 = 30.
Сначала преобразуем буквенное выражение, потому что в скобках стоит разность. При вычитании разности знак перед вторым числом меняется с минуса на плюс. Только после этого подставим значения букв.
Ответ: a − b + c; при указанных значениях выражение равно 40. Проверка другим способом: b − c = 17 − 9 = 8, а 48 − 8 = 40.
При перестановке слагаемых иногда меняют знак плюс или получают другой результат. Так происходит, когда свойство сложения путают с изменением самого действия. Проверьте себя: выпишите оба порядка и посчитайте, должны получиться одинаковые суммы.
В выражении a − (b + c) некоторые меняют знак только у b. Причина в том, что минус перед скобками ошибочно связывают с первым числом, хотя он относится ко всей сумме. Раскройте скобки по одному действию: из a нужно вычесть и b, и c.
В выражении a − (b − c) иногда оставляют минус перед c. Это неверно, потому что вычитание второго числа из уже вычитаемой разности превращается в прибавление. Для проверки вычислите сначала значение в скобках и сравните с результатом после раскрытия.
Ещё одна ошибка — неправильная группировка или нарушение порядка действий. Скобки нельзя расставлять произвольно, если внутри есть вычитание. Сначала определите действие и знак перед скобками, а затем проверьте преобразование обратным вычислением.
До изучения темы нужны знания о компонентах сложения и вычитания, порядке действий и скобках. Также важно понимать, что вычитание связано со сложением: разность показывает, какое число нужно прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое.
Дальше эти свойства пригодятся при упрощении буквенных выражений и преобразовании выражений со скобками. Они позволяют заменить длинную запись более короткой, сохранив её значение.
Правила нужны и при решении уравнений, вычислении значений выражений и рациональных вычислениях. Умение менять порядок слагаемых и правильно раскрывать скобки помогает быстрее находить неизвестные и избегать ошибок.
Можно ли менять местами числа при вычитании так же, как при сложении?
Нет, вычитание не обладает переместительным свойством. Например, 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5, поэтому порядок чисел менять нельзя.
Почему при раскрытии скобок после минуса меняются все знаки?
Знак минус перед скобками относится ко всему выражению внутри них. Поэтому a − (b + c) означает, что из a вычитают и b, и c, а a − (b − c) превращается в a − b + c.
Чем правило вычитания суммы отличается от правила вычитания разности?
При вычитании суммы оба слагаемых вычитаются: a − (b + c) = a − b − c. При вычитании разности первое число вычитается, а второе прибавляется: a − (b − c) = a − b + c.
Зачем группировать слагаемые и менять их порядок?
Это помогает собрать удобные пары чисел и быстрее выполнить вычисления. Например, 27 + 13 можно заменить на 40, а затем прибавить остальные слагаемые.
Можно ли применять эти свойства, если вместо букв стоят отрицательные числа?
Да, свойства сложения и правила вычитания верны и для отрицательных чисел. Нужно только внимательно соблюдать знаки и порядок действий.
9. Буквенная запись свойств сложения и вычитания
