"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Выражения помогают записывать вычисления и зависимости между величинами. Числовое выражение состоит из чисел и знаков действий, а буквенное содержит ещё и буквы, которые обозначают числа. Чтобы найти значение выражения, нужно выполнить действия в правильном порядке. Если в выражении есть буквы, сначала вместо них подставляют заданные числа, а затем считают. Такие записи нужны для решения задач и составления формул.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 48 : 6 + 7 — числовое выражение. Оно нужно, чтобы коротко записывать вычисления и находить их результат.
Буквенное выражение — запись, в которой вместе с числами и знаками действий используются буквы. Например, 3a + 5 содержит букву a. Такие записи помогают описывать вычисления, когда какое-то число пока неизвестно или может меняться.
Значение выражения — число, полученное в результате выполнения всех действий в выражении. Чтобы его найти, надо правильно выполнить действия и учесть скобки. Значение показывает итог вычислений для конкретного выражения.
Переменная — буква, которая может обозначать разные числовые значения. Например, вместо a можно подставить 2, 5 или другое подходящее число. Это позволяет использовать одно выражение для разных случаев.
Выражение составляют из чисел, букв, знаков действий и, если нужно, скобок. Знак показывает, какое действие связывает числа или части записи, а скобки помогают отметить, что нужно считать вместе. Например, запись 6 · (4 + 2) означает, что сначала складывают числа в скобках, а затем умножают результат на 6. Без скобок запись могла бы означать уже другое вычисление.
Значение числового выражения находят по правилам порядка действий, потому что одна и та же запись не должна давать разные ответы у разных людей. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковый приоритет, их выполняют слева направо. Поэтому в выражении 36 : 4 + 5 · 2 сначала считают деление и умножение, а не начинают с первого действия и идут подряд.
Буквенное выражение становится числовым, когда вместо каждой буквы подставляют конкретное число. Это нужно, чтобы узнать результат для выбранного случая. Например, при a = 8 выражение 7a − 3 превращается в запись 7 · 8 − 3. После этого можно вычислить её по обычным правилам и получить конкретное значение.
В буквенном выражении сначала выполняют действия с известными числами, а затем подставляют значения букв, если это допустимо по записи. Так выражение можно упростить, не меняя его смысла: например, в 2 + 3a известные числа 2 и 3 нельзя просто сложить, потому что между 3 и a подразумевается умножение. Нужно сохранить нужные действия и после подстановки вычислять по порядку. Главное — не подменять букву числом до того, как это число задано.
По выражению можно записать зависимость между величинами и получить формулу для вычислений. Сначала определяют, какие величины известны и какая зависит от них, затем переводят слова задачи в арифметические действия. Например, цена одной тетради обозначена буквой a, значит цена четырёх тетрадей равна 4a. Если к ним добавляют ручку за 25 рублей, общая стоимость равна 4a + 25; подстановка цены тетради даёт ответ для конкретной покупки.
| Признак | Числовое выражение | Буквенное выражение |
|---|---|---|
| Какие знаки и символы содержит | Есть только числа, знаки действий и скобки | Есть числа, знаки действий, скобки и буквы |
| Что можно найти | Одно конкретное значение | Значение при заданных значениях букв |
| Пример | 48 : 6 + 7 | 3a + 5 |
| Как вычисляется | По правилам порядка действий | Сначала подставляют значения букв, затем выполняют действия по порядку |
Сравнивай записи по строкам: так видно, какие символы в них используются и что можно вычислить. Если в записи есть буква, для получения конкретного значения нужно знать, какое число она обозначает. В обоих случаях при вычислениях соблюдают порядок действий.
Задача 1. Вычислить значение выражения 36 : 4 + 5 · 2. Здесь есть деление, умножение и сложение. По порядку действий сначала выполняем деление и умножение, а сложение оставляем на конец.
Задача 2. Найти значение выражения 7a − 3 при a = 8. Буква a обозначает число 8, поэтому вместо неё нужно подставить 8. После подстановки останется числовое выражение, которое можно вычислить.
Задача 3. Нужно составить выражение для стоимости покупки из 4 тетрадей по a рублей и ручки за 25 рублей, а затем найти стоимость при a = 12. Сначала посчитаем стоимость тетрадей: цена одной умножается на их количество. Потом прибавим стоимость ручки, потому что покупают и тетради, и ручку.
Иногда выражение считают слева направо и выполняют сложение раньше умножения. Так делают, если забывают про порядок действий; проверь себя, отметив, какие действия имеют приоритет. Например, в 36 : 4 + 5 · 2 сначала нужно выполнить деление и умножение.
Другая ошибка — потерять скобки или поставить их не там, где нужно. Тогда меняется порядок вычислений, а значит, может измениться и ответ. Сверь запись с условием задачи и отдельно проверь, какие действия должны выполняться вместе.
При подстановке иногда заменяют только одно вхождение буквы или случайно меняют знак перед частью выражения. Каждое вхождение одной и той же буквы обозначает одно и то же число; подставь его во все места и перечитай запись, сохраняя знаки. Скобки вокруг подставляемого отрицательного числа помогают не перепутать знак.
Буквенное выражение нельзя полностью вычислить, если значения букв не заданы. Ошибка возникает, когда букву принимают за конкретное число без условия. Проверь, указано ли значение каждой буквы: если нет, оставь выражение буквенным и укажи, что результат зависит от этих значений.
Для работы с выражениями нужны знания о натуральных числах, арифметических действиях, скобках и порядке выполнения действий. Они помогают верно вычислять числовые выражения и понимать смысл буквенной записи. Буквенные выражения пригодятся при составлении формул и решении текстовых задач, где одна величина зависит от другой. Позже с их помощью будут изучать уравнения, формулы и свойства арифметических действий.
Чем числовое выражение отличается от буквенного?
В числовом выражении есть числа, знаки действий и скобки, но нет букв. В буквенном выражении присутствуют одна или несколько букв, обозначающих числа.
Можно ли найти значение буквенного выражения, если значения букв не заданы?
Обычно нельзя найти одно конкретное значение, потому что результат зависит от букв. Можно вычислить его, если известны значения всех входящих в выражение букв.
Почему умножение выполняют раньше сложения?
Для действий установлены общие правила порядка, чтобы все получали один и тот же результат. Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, если скобки не задают другой порядок.
Нужно ли заключать подставляемое значение в скобки?
Если вместо буквы подставляется отрицательное число или выражение, его обычно заключают в скобки. Так проще правильно выполнить действия и не потерять знак.
Как составить буквенное выражение по условию задачи?
Сначала определи, какая величина неизвестна и какую букву удобно использовать для её обозначения. Затем переведи действия из условия в знаки и запиши выражение, сохраняя нужный порядок и скобки.
8. Числовые и буквенные выражения
