"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Выражение — это запись, по которой можно выполнить действия и получить число. В числовом выражении указаны числа, а в буквенном часть чисел заменена буквами. Буквы помогают записывать правила и зависимости, не выбирая заранее конкретные числа. Чтобы найти значение буквенного выражения, нужно задать значения букв, заменить ими все буквы и выполнить действия по порядку. Поэтому здесь важно не только уметь считать, но и внимательно сохранять скобки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — это запись из чисел, знаков действий и скобок. По такой записи можно выполнить вычисления и получить число. Например, в выражении 18 − 3 · 4 уже указаны все числа, поэтому его значение можно найти.
Буквенное выражение — запись, в которой вместе с числами и знаками действий есть буквы, обозначающие числа. Например, 5a + 2 — буквенное выражение: буква a может означать разные числа. Такие записи нужны, когда правило должно подходить не для одного числа, а для разных чисел.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. У числового выражения оно определяется его записью, а у буквенного зависит ещё и от того, какие числа обозначают буквы. Поэтому одно выражение с буквами может давать разные результаты.
Подстановка значения буквы — замена буквы указанным числом с последующим вычислением. Например, если a = 3, то в выражении 5a + 2 вместо каждой буквы a нужно записать 3. Подстановка позволяет перейти от общего буквенного выражения к вычислению для конкретного случая.
Числа, знаки действий и скобки соединяются в выражение, потому что вместе они задают, какие вычисления нужно выполнить. Например, запись 12 + 3 · 2 отличается от записи (12 + 3) · 2: скобки меняют порядок действий и результат. Поэтому сначала нужно разобраться в устройстве записи, а затем считать. Порядок действий помогает однозначно понять, как найти значение выражения.
Буквы позволяют записать действие или зависимость в общем виде, не выбирая заранее конкретные числа. Например, запись a + 5 подходит для прибавления пяти к любому числу a. Если вместо буквы сразу поставить одно определённое число, запись будет описывать только этот частный случай. Общая запись удобна, когда нужно применить одно правило к разным числам.
Чтобы вычислить буквенное выражение, каждой букве задают числовое значение, затем заменяют буквы числами и выполняют действия. Это нужно потому, что сама буква не сообщает, какое число следует прибавить, умножить или вычесть. Например, при a = 3 выражение 5a + 2 превращается в 5 · 3 + 2. После подстановки остаётся числовое выражение, с которым можно работать обычным способом.
В произведении знак умножения между числом и буквой или между буквами обычно не пишут: 3 · a записывают как 3a. Такая короткая запись помогает не загромождать выражения, когда множителей много. При этом число перед буквой означает умножение, а не сложение. Например, 3a при a = 4 означает 3 · 4.
При подстановке важно сохранить скобки, потому что они показывают, какие действия связаны между собой. Если заменить b на 5 в записи 2 · (b + 7), получится 2 · (5 + 7), а не выражение с другим порядком действий. После замены действуют по общим правилам: сначала считают в скобках, затем умножают. Так сохраняется смысл исходной записи и получается правильное значение.
| Признак | Числовое выражение | Буквенное выражение |
|---|---|---|
| Какие знаки и символы входят в запись | Числа, знаки действий и скобки | Числа, знаки действий, скобки и буквы |
| Можно ли вычислить значение сразу | Да, если запись задаёт вычисления | Нужно знать значения букв |
| От чего зависит значение | От чисел и порядка действий | От значений букв и порядка действий |
| Пример | 18 − 3 · 4 | 5a + 2 |
Сначала определите, есть ли в записи буквы: это сразу показывает, какое перед вами выражение. Затем проверьте, известны ли значения всех букв. Таблица помогает увидеть, что порядок действий важен в обоих случаях, но буквенное выражение требует подстановки.
Задача 1. Найти значение выражения 18 − 3 · 4. Здесь есть умножение и вычитание без скобок. Значит, сначала выполняем умножение, а не идём просто слева направо. Затем используем полученный результат для вычитания.
Задача 2. Найти значение выражения 5a + 2 при a = 3. Буква a встречается один раз, поэтому заменим её числом 3. Запись 5a означает произведение 5 и a, а умножение выполняется раньше сложения. Вычислим получившееся числовое выражение.
Задача 3. Найти значение выражения 2 · (b + 7) − b при b = 5. Буква b встречается дважды, поэтому заменим оба вхождения числом 5. Скобки сохраняем: сначала нужно найти сумму внутри них, затем умножить её на 2 и вычесть оставшееся b. Так мы не изменим порядок действий, заданный выражением.
В выражении 18 − 3 · 4 иногда сначала вычитают 18 − 3. Так ошибаются, если читают запись только слева направо и забывают, что умножение выполняют раньше вычитания. Для проверки отметьте действия по порядку: сначала 3 · 4, потом вычитание. Получится 6, а не результат ошибочного вычисления.
При подстановке иногда заменяют только одно вхождение буквы, хотя она встречается несколько раз. Это происходит, когда читают выражение невнимательно и не проверяют его целиком. Найдите все одинаковые буквы и замените каждую; например, в 2 · (b + 7) − b число нужно поставить дважды. Перед вычислениями ещё раз просмотрите запись.
Можно потерять скобки и заменить b + 7 на 5 + 7 не в той части выражения, где сумма умножается целиком. Тогда меняется порядок действий и получается уже другая запись. Сравните исходное выражение 2 · (b + 7) с записью после подстановки 2 · (5 + 7). Если скобки стояли, оставьте их и проверьте, что множитель 2 относится ко всей сумме.
Буквенное выражение иногда пытаются вычислить до того, как заданы значения букв. Причина в том, что букву принимают за известное число, хотя она может обозначать разные числа. Проверьте, указано ли, чему равна каждая буква; если нет, одного числового ответа обычно получить нельзя. Не угадывайте значение буквы, а сначала найдите условие о подстановке.
Для работы с выражениями нужно уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами и соблюдать порядок действий. Эти навыки помогают правильно вычислять и числовые выражения, и выражения после подстановки букв. Если забыть правила, буквенная запись сама по себе не подскажет верный результат. Поэтому полезно сначала потренироваться со скобками, умножением, делением, сложением и вычитанием.
Позже буквенные выражения пригодятся при составлении формул и вычислении значений выражений с буквами. Формула помогает коротко записать правило, которое можно применить к разным числам. Чтобы воспользоваться такой записью, достаточно подставить нужные значения и выполнить действия. Значит, умение работать с выражениями становится основой для следующих математических тем.
Чем буквенное выражение отличается от числового?
В числовом выражении есть числа и знаки действий, поэтому его значение можно вычислить сразу. В буквенном выражении есть ещё буквы, обозначающие числа. Чтобы вычислить его значение, нужно знать, какие числа обозначают буквы.
Можно ли найти значение буквенного выражения, если значение буквы не задано?
Обычно нельзя получить одно определённое число, пока значение буквы неизвестно. Например, выражение a + 2 будет иметь разные значения при разных a. Можно записать его вид, но для вычисления нужно задать значение буквы.
Как правильно подставить число вместо буквы?
Нужно заменить букву указанным числом во всех местах выражения. Если буква стояла в скобках, скобки сохраняют, а затем выполняют действия в правильном порядке. Например, 2 · (b + 7) при b = 5 превращается в 2 · (5 + 7).
Почему в записи 4a не пишут знак умножения?
Запись 4a означает произведение числа 4 и буквы a. В таких произведениях знак умножения между числом и буквой обычно опускают, чтобы запись была короче. Между числами знак умножения, как правило, пишут: 4 · 3.
В каком порядке выполнять действия в выражении со скобками?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание; действия одного порядка выполняют слева направо. Такой порядок помогает всем получать одинаковое значение выражения.
8. Числовые и буквенные выражения
