"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Вычитание помогает узнать, сколько осталось, на сколько одно число больше другого или какое слагаемое неизвестно. В записи a − b число a называют уменьшаемым, а b — вычитаемым; результат называется разностью. Вычитание связано со сложением: если к разности прибавить вычитаемое, получится уменьшаемое. Поэтому вычитание можно проверить сложением. Для натуральных чисел уменьшаемое не должно быть меньше вычитаемого.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вычитание натуральных чисел — действие, с помощью которого по сумме и одному слагаемому находят другое слагаемое. Например, если всего было 9 предметов, а 4 из них известны, вычитание помогает узнать, сколько предметов осталось в другой части. Это действие нужно для задач на остаток и для поиска неизвестного числа в сложении.
Уменьшаемое — число, из которого вычитают. В записи 15 − 6 уменьшаемое — 15: именно его количество уменьшают на 6. Этот термин помогает определить, какое число стоит первым в примере.
Вычитаемое — число, которое вычитают. В записи 15 − 6 вычитаемое — 6, то есть число, на которое уменьшают 15. Термин нужен, чтобы не перепутать числа при вычислении и проверке.
Разность — результат вычитания; этим же словом называют выражение, записанное с помощью знака «−». Например, в выражении 15 − 6 разность равна 9, а само выражение тоже можно назвать разностью. Это название используют, когда говорят как о вычислении в целом, так и о его результате.
Вычитание связано со сложением, потому что оно позволяет найти неизвестное слагаемое. Если a − b = c, то c + b = a: число c должно дополнить b до a. Например, 11 − 7 = 4, потому что 4 + 7 = 11. Поэтому вычитание называют действием, обратным сложению.
В натуральных числах разность существует, если уменьшаемое не меньше вычитаемого. Это следует из смысла действия: натуральное число, прибавленное к вычитаемому, не может дать число меньше него. Например, 8 − 5 = 3, а для 5 − 8 натурального числа-результата нет. В таком случае говорят, что вычитание большего натурального числа из меньшего в натуральных числах выполнить нельзя.
Чтобы проверить вычитание, к найденной разности прибавляют вычитаемое. Если получилось уменьшаемое, значит, разность подходит: она вместе с вычитаемым восстанавливает исходное число. Например, после вычисления 14 − 9 нужно проверить равенство 5 + 9 = 14. Такой способ надёжнее, чем повторять то же вычитание.
Вычитая сумму из числа, можно сначала найти сумму в скобках, а затем выполнить одно вычитание. Можно и вычитать слагаемые по очереди: a − (b + c) = a − b − c. Причина в том, что сначала мы убираем часть b, а затем убираем ещё часть c. Например, 20 − (3 + 4) = 20 − 3 − 4 = 13.
Если нужно вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, когда это возможно, или последовательно вычитать из слагаемых. Например, (12 + 8) − 5 можно посчитать как 12 − 5 + 8, потому что 5 удобно вычесть из 12. Если ни одно слагаемое не подходит для такого действия, сначала находят сумму, а затем вычитают число. Выбирай способ, при котором вычислять проще, и проверяй, что исходное выражение не изменилось.
В таблице собраны правила, которые помогают выбрать способ вычисления и проверить результат. Сначала найди нужную ситуацию в первом столбце, затем прочитай запись и пояснение. В примерах можно применять правило сразу или использовать его для проверки рассуждений.
| Правило | Запись | Что позволяет сделать |
|---|---|---|
| Связь вычитания со сложением | a − b = c, если c + b = a | Найти неизвестное слагаемое |
| Вычитание нуля | a − 0 = a | Вычесть ноль, не меняя число |
| Вычитание суммы из числа | a − (b + c) = a − b − c | Вычесть слагаемые суммы по очереди |
| Вычитание числа из суммы | (a + b) − c = (a − c) + b, если a ≥ c | Вычесть число из подходящего слагаемого |
| Проверка вычитания | (a − b) + b = a | Убедиться, что получилась исходная величина |
Вычислите 846 − 321 и проверьте результат сложением. Сначала расположим разряды друг под другом: единицы вычитаем из единиц, десятки — из десятков, сотни — из сотен. Здесь в каждом разряде уменьшаемая цифра не меньше вычитаемой, поэтому занимать единицу у соседнего разряда не нужно.
Ответ: 525.
Вычислите 700 − (150 + 230), используя правило вычитания суммы из числа. В скобках записана сумма двух чисел, поэтому можно сначала найти её, а можно убрать оба слагаемых одно за другим. Покажем второй способ: он прямо использует правило и позволяет видеть, что вычтены обе части суммы.
Ответ: 320.
В коробке было 125 карандашей. После того как часть раздали, осталось 48. Сколько карандашей раздали? Общее количество карандашей состоит из тех, что раздали, и тех, что остались. Значит, известна сумма и одно слагаемое, а неизвестное слагаемое можно найти вычитанием.
Ответ: раздали 77 карандашей.
Иногда вычитают меньшее число из большего, не обращая внимания на порядок записи. Но в выражении a − b уменьшаемое всегда стоит первым, и перестановка чисел меняет действие. Ошибку допускают, когда считают, что можно просто расположить числа по возрастанию. Проверяй, какое число записано слева от знака минус, и начинай вычитание именно с него.
Ещё одна ошибка — считать, что натуральную разность можно получить при любом порядке чисел. Если уменьшаемое меньше вычитаемого, натурального результата нет: например, 3 − 7 нельзя выполнить в натуральных числах. Так бывает, когда забывают о связи разности со сложением. Чтобы проверить себя, спроси: какое натуральное число нужно прибавить к 7, чтобы получить 3? Такого числа нет.
При вычитании суммы иногда вычитают только одно из её слагаемых. Например, в выражении 50 − (8 + 2) нужно убрать и 8, и 2, иначе часть суммы останется невычтенной. Эту ошибку допускают, если не раскрывают смысл скобок. Перепиши выражение как 50 − 8 − 2 и проверь, что использованы оба слагаемых.
Некоторые проверяют вычитание ещё одним вычитанием, но такая проверка может повторить ту же ошибку. Надёжный способ — сложить разность с вычитаемым и сравнить результат с уменьшаемым. Если получились не исходные числа или сумма не совпала, пересчитай действие. Запоминай порядок проверки: сначала разность, затем вычитаемое.
Перед изучением вычитания нужно уметь представлять натуральные числа по разрядам: единицы, десятки, сотни и так далее. Также пригодятся правила сложения, потому что вычитание позволяет находить неизвестное слагаемое, а сложение помогает проверять результат. Эти знания нужны для точных вычислений с многозначными числами.
Вычитание встречается в задачах на остаток и разность: например, когда нужно узнать, сколько предметов осталось или на сколько одно количество больше другого. Позже навык понадобится при действиях с многозначными числами, дробями и при решении уравнений. Понимание связи со сложением помогает применять его и в новых темах.
Почему вычитание называют действием, обратным сложению?
Если из суммы вычесть одно слагаемое, получится другое слагаемое. Поэтому вычитание помогает восстановить неизвестное слагаемое, а сложение — проверить результат вычитания.
Как проверить, правильно ли выполнено вычитание?
Прибавь к разности вычитаемое. Если получилась исходная величина — уменьшаемое, вычитание выполнено правильно.
Можно ли из меньшего натурального числа вычесть большее?
В натуральных числах такую разность получить нельзя: натуральное число не может быть меньше нуля. Например, 4 − 9 не является натуральным числом.
Как вычесть сумму из числа?
Можно сначала вычислить сумму в скобках и вычесть результат. Также можно вычесть слагаемые по очереди: a − (b + c) = a − b − c, если действия возможны.
Чем отличаются уменьшаемое, вычитаемое и разность?
Уменьшаемое — число, из которого вычитают, а вычитаемое — число, которое вычитают. Разность — результат действия или всё выражение с минусом, например 12 − 5.
7. Вычитание
