"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Умножение натуральных чисел помогает быстро складывать одинаковые слагаемые и находить общее количество предметов в равных группах. Числа, которые перемножают, называют множителями, а результат — произведением. Свойства умножения позволяют менять порядок и группировку множителей, а также умножать число на сумму. Благодаря этому можно выбирать удобный способ вычислений, упрощать выражения и проверять решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение натуральных чисел — действие, которым заменяют сложение одинаковых слагаемых. Например, вместо 4 + 4 + 4 можно записать 4 · 3. Такая короткая запись удобна, когда одно число повторяется много раз: не приходится выписывать длинную сумму.
Множители — это числа, которые перемножают. В записи 4 · 3 множители — 4 и 3; обычно их записывают слева и справа от знака умножения ·. По множителям можно понять, какое число повторяется и сколько раз оно берётся.
Произведение — результат умножения. Запись a · b = c означает, что число a умножили на число b, а получили c; например, 4 · 3 = 12. Словом «произведение» также называют всё выражение a · b, поэтому по контексту можно понять, говорится ли о результате или о записи целиком.
Переместительное свойство умножения записывают так: a · b = b · a. Если поменять множители местами, произведение останется прежним: 4 · 3 = 3 · 4. Это свойство помогает выбирать удобный порядок вычисления и проверять, что перестановка чисел не изменила результат.
Умножение связано со сложением повторяющихся слагаемых: a · b означает, что число a складывают само с собой b раз. Например, 6 · 4 — это 6 + 6 + 6 + 6. Запись умножением короче, а смысл остаётся тем же: мы считаем общее количество, собранное из равных частей. Поэтому при подсчёте одинаковых групп удобно сначала определить размер группы и число групп.
Переместительное свойство можно увидеть на предметах, разложенных прямоугольником. Если поставить 3 ряда по 5 предметов, всего будет 3 · 5 предметов; если считать иначе — 5 предметов в каждом из 3 рядов, общее число не меняется. Можно также пересчитать прямоугольник как 5 рядов по 3 предмета: получится 5 · 3, столько же предметов. Меняется способ счёта, но не само расположение и количество.
Сочетательное свойство записывают так: (a · b) · c = a · (b · c). При умножении нескольких чисел скобки показывают, какие множители считают вместе, но не меняют их состав. Например, в (2 · 5) · 3 сначала находят 2 · 5, а в 2 · (5 · 3) — 5 · 3; оба способа дают одно произведение. Это удобно, если одна из групп множителей даёт круглое или легко вычисляемое число.
Распределительное свойство умножения относительно сложения имеет вид a · (b + c) = a · b + a · c. Представим, что a наборов предметов разделили на две части: в каждой первой части по b предметов, а во второй — по c. Можно сначала сложить части в одном наборе и умножить сумму на число наборов, а можно отдельно посчитать обе части во всех наборах и сложить ответы. Оба подсчёта дают одно общее количество, поэтому множитель относится к каждому слагаемому.
Свойства помогают подобрать вычисление, которое легче выполнить. В выражении 25 · 13 · 4 можно переставить множители и сгруппировать 25 и 4: так сначала получится 100. В выражении 38 · 102 удобно представить 102 как 100 + 2, чтобы умножить 38 на каждую часть и сложить результаты. Перед вычислением проверьте, не образуют ли какие-то множители круглое число и не удобно ли разложить число на сумму.
| Свойство | Общая запись | Пример |
|---|---|---|
| Переместительное | a · b = b · a | 4 · 7 = 7 · 4 = 28 |
| Сочетательное | (a · b) · c = a · (b · c) | (2 · 5) · 3 = 2 · (5 · 3) = 30 |
| Распределительное относительно сложения | a · (b + c) = a · b + a · c | 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 = 18 |
| Умножение на 1 | a · 1 = a | 9 · 1 = 9 |
| Умножение на 0 | a · 0 = 0 | 9 · 0 = 0 |
Сначала найдите в таблице нужное свойство и сопоставьте его общую запись с выражением. Затем проверьте пример по шагам: все ли множители сохранены и на каждое ли слагаемое умножили число. Если сомневаетесь, подставьте свои числа вместо букв и пересчитайте обе части равенства.
Нужно заменить умножение суммой, в которой все слагаемые одинаковы. Первый множитель показывает, какое число повторяется, а второй — сколько раз его записать. После этого сложим полученные числа.
Ответ: 28. Проверить результат можно обратной записью: сумма четырёх одинаковых семёрок и есть произведение 7 · 4.
Можно перемножать числа слева направо, но сначала стоит поискать пару, произведение которой легко считать. Множители 25 и 4 дают круглое число 100. Переставим их рядом, а затем сгруппируем, не потеряв множитель 13.
Ответ: 1300. Перестановка и группировка допустимы благодаря переместительному и сочетательному свойствам умножения.
Число 102 близко к 100, поэтому его удобно представить суммой 100 + 2. По распределительному свойству нужно умножить 38 на оба слагаемых, а потом сложить полученные произведения. Такой способ превращает одно умножение в два более простых.
Ответ: 3876. Для проверки можно заметить, что 102 на 2 больше 100, поэтому результат должен быть на 38 больше, чем 38 · 100 = 3800.
Ошибка — считать, что переместительное свойство позволяет переставлять любые части выражения, в том числе слагаемые внутри суммы. Оно относится к множителям: a · b = b · a, но не даёт права менять выражение без учёта знаков и скобок. Такую путаницу допускают, потому что и при сложении есть перестановка слагаемых. Проверяйте, какие именно числа стоят по обе стороны знака умножения.
Нельзя менять порядок множителей так, чтобы потерять или заменить число: например, превращать 3 · 5 · 2 в 3 · 7. Свойства разрешают переставлять множители и ставить скобки, но каждое число должно остаться в записи. Ошибка возникает, если начать считать отдельные числа, не сохраняя связь с исходным выражением. Для проверки пересчитайте, все ли три множителя присутствуют.
При раскрытии скобок неверно записывать a · (b + c) = a · b + c. Множитель a нужно умножить и на b, и на c: верная запись — a · b + a · c. Иногда второй множитель пропускают, потому что после первого умножения кажется, будто правило уже применено. Подставьте числа и сравните результат с умножением на сумму целиком.
Умножение на 1 и умножение на 0 дают разные результаты: a · 1 = a, а a · 0 = 0. При умножении на 1 число сохраняется, а ноль означает, что одинаковое слагаемое не взяли ни разу. Ошибку часто вызывает то, что и 1, и 0 выглядят простыми множителями. Проверьте, какой множитель стоит в примере: единица сохраняет число, ноль обнуляет произведение.
Чтобы понять умножение, нужно знать смысл сложения натуральных чисел и уметь складывать одинаковые слагаемые. Позже переместительное, сочетательное и распределительное свойства помогут быстрее вычислять выражения, раскрывать скобки и решать уравнения. Умножением находят общее число предметов в равных группах или прямоугольном массиве. Например, площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину.
Почему умножение можно заменить сложением одинаковых слагаемых?
Умножение показывает, сколько получится, если одно и то же число взять несколько раз. Например, 4 · 3 — это три слагаемых по 4: 4 + 4 + 4. Такая запись короче и удобнее.
Меняется ли произведение, если множители поменять местами?
Нет, произведение не меняется: a · b = b · a. Например, 3 · 5 и 5 · 3 равны 15. Это переместительное свойство.
Можно ли по-разному расставлять скобки при умножении нескольких чисел?
Да, при умножении нескольких множителей можно менять их группировку: (a · b) · c = a · (b · c). Например, в выражении 2 · 5 · 3 удобно сначала перемножить 2 и 5. Все множители при этом остаются на месте.
Как правильно умножить число на сумму?
Нужно умножить число на каждое слагаемое, а затем сложить результаты: a · (b + c) = a · b + a · c. Например, 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 = 18. Множитель нельзя пропускать ни у одного слагаемого.
Почему произведение любого натурального числа на ноль равно нулю?
Умножение на ноль означает, что число взято ноль раз, то есть ни одного слагаемого нет. Поэтому сумма равна нулю. Это записывают так: a · 0 = 0.
11. Умножение натуральных чисел и его свойства
