"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Деление помогает разделить количество на равные группы или узнать, сколько раз одно число содержится в другом. В записи a : b = c число a называют делимым, b — делителем, а c — частным. Деление связано с умножением: результат можно проверить, умножив частное на делитель. Делить на ноль нельзя, а ноль, разделённый на любое ненулевое число, равен нулю. Эти правила помогают решать задачи и находить неизвестные числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление — действие, которое показывает, на сколько равных частей разделили число или сколько раз одно число содержится в другом. Например, если 12 конфет поровну раздать трём детям, деление поможет узнать количество конфет у каждого. Оно нужно, когда требуется разделить предметы или сравнить количества. В записи 12 : 3 ответ равен 4.
Делимое — число, которое делят. В записи a : b = c делимое обозначено буквой a и стоит перед знаком деления. Именно это число разделяют на части или выясняют, сколько в нём групп заданного размера. Например, в записи 20 : 4 = 5 делимое — 20.
Делитель — число, на которое делят. В записи a : b = c делитель обозначен буквой b и стоит после знака деления. Он может указывать число равных частей или размер каждой группы. Делить на ноль нельзя, поэтому делитель b не должен быть равен нулю.
Частное — результат деления; в записи a : b = c им является число c. Тем же словом называют и выражение a : b, даже если результат ещё не вычислен. Частное отвечает на вопрос задачи о распределении или количестве групп. Например, в равенстве 20 : 4 = 5 частное равно 5.
Деление часто помогает распределить предметы поровну. Допустим, есть 15 карандашей и 5 учеников, а каждый карандаш нужно кому-то отдать. Если раздать по одному карандашу каждому, а затем повторить это ещё два раза, каждый получит по 3. Поэтому количество карандашей у одного ученика находят действием 15 : 5 = 3. Делитель здесь показывает, на сколько равных групп распределили все предметы.
Деление связано с умножением, потому что умножение помогает восстановить целое количество по числу групп и размеру каждой группы. Если a : b = c, то b · c = a: число групп b умножают на количество предметов в каждой группе c и получают всё количество a. Например, 20 : 4 = 5, потому что 4 · 5 = 20. Эта связь объясняет, почему умножение удобно использовать для проверки деления.
Неизвестный компонент деления можно найти, опираясь на равенство делителя и частного с делимым: b · c = a. Если неизвестно делимое, нужно умножить делитель на частное: например, в x : 7 = 12 число x равно 7 · 12. Если неизвестно частное, делимое делят на известный делитель. Если неизвестен делитель, делимое делят на частное, причём деление возможно, когда частное не равно нулю.
Число, делённое на 1, не меняется, потому что умножение результата на 1 должно дать исходное число, а любое число при умножении на 1 сохраняется. Поэтому a : 1 = a. Ненулевое число, делённое на себя, равно 1: единица при умножении на это число даёт исходное число. Например, 9 : 9 = 1, а 0 : 0 не рассматривают, поскольку делитель равен нулю.
Если ноль делят на ненулевое число b, получается ноль: 0 : b = 0. Это следует из проверки умножением, ведь 0 · b = 0. А делить на ноль нельзя: для выражения a : 0 нужно найти число, которое при умножении на 0 даст a, но любое такое произведение равно 0. Поэтому при ненулевом a нужного числа не существует, а случай 0 : 0 также не определён.
| Запись | Делимое | Делитель | Частное | Проверка умножением |
|---|---|---|---|---|
| 20 : 4 = 5 | 20 | 4 | 5 | 4 · 5 = 20 |
| a : b = c | a | b | c | b · c = a |
Сначала найди в записи число до знака деления: это делимое, а число после знака — делитель. Результат деления — частное, и для проверки умножь его на делитель. Если произведение совпало с делимым, связь между числами соблюдена.
Задача: разделить 24 яблока поровну между 6 детьми. Нужно узнать, сколько яблок получит каждый ребёнок. Всего яблок — 24, а равных групп, то есть детей, — 6. Поэтому записываем 24 : 6.
Ответ: каждый ребёнок получит 4 яблока. Мы разделили общее количество на число равных групп, поэтому результат показывает количество яблок в одной группе. Проверка умножением подтверждает, что все яблоки распределены без остатка.
Задача: вычислить 72 : 8 и проверить результат. Чтобы найти частное, ищем число, которое при умножении на 8 даёт 72. Можно воспользоваться таблицей умножения или вспомнить, что 8 · 9 = 72.
Ответ: 72 : 8 = 9. Проверка нужна, чтобы убедиться, что подбор числа выполнен верно. Если бы произведение отличалось от делимого, пришлось бы искать другое частное.
Задача: найти неизвестное число в равенстве x : 7 = 12. Здесь x — делимое, 7 — делитель, а 12 — частное. Чтобы найти делимое, надо восстановить число, которое разделили на 7 и получили 12. Для этого используем обратное действие — умножение.
Ответ: x = 84. Проверка показывает, что найденное число действительно даёт частное 12 при делении на 7. Такой способ подходит и для других равенств, где неизвестно делимое.
Можно перепутать делимое и делитель, считая, что их порядок не важен. Так бывает, потому что при сложении и умножении порядок чисел можно менять, но деление устроено иначе: например, 20 : 4 = 5, а 4 : 20 не равно 5. Проверяй, какое число делят и на сколько частей; переставлять числа местами нельзя.
Нельзя считать, что деление на ноль даёт ноль. Ошибка возникает из-за правила 0 : b = 0, но оно верно только тогда, когда b не равно нулю. Проверка умножением помогает заметить проблему: не существует числа, которое при умножении на 0 даст ненулевое делимое.
Некоторые считают, что 0 : 0 = 0, потому что делимое равно нулю. Но в этой записи делитель тоже равен нулю, а делить на ноль не определено. Проверить такое частное умножением нельзя однозначно: любое число, умноженное на 0, даст 0. Поэтому выражение 0 : 0 не имеет определённого значения.
Ещё одна ошибка — проверять деление сложением или делить частное на делитель. Это происходит, если забыть, какое действие обратное делению. Для проверки умножь частное на делитель: результат должен совпасть с делимым. Например, после 72 : 8 = 9 проверка — это 9 · 8 = 72.
Чтобы делить уверенно, полезно знать таблицу умножения: с её помощью проще находить частное и проверять ответ. Умножение можно понимать как сложение одинаковых слагаемых, поэтому эти действия тесно связаны. Деление встречается в задачах на равное распределение и помогает находить неизвестные числа в уравнениях. Позднее те же идеи пригодятся при делении с остатком и работе с дробями.
Как понять, какое число в записи деления является делимым?
Делимое стоит первым, до знака деления. Например, в записи 24 : 6 = 4 делимое — 24: его делят на 6 равных частей.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
Умножь частное на делитель. Если получилось делимое, деление выполнено верно: например, 72 : 8 = 9, потому что 9 · 8 = 72.
Почему деление нельзя проверить сложением?
Деление связано с умножением, а не со сложением: умножение отменяет деление. Чтобы проверить частное, нужно умножить его на делитель и получить делимое.
Почему нельзя делить на ноль?
При делении a : 0 нужно было бы найти число, которое при умножении на 0 даёт a. Но произведение любого числа на 0 равно 0, поэтому при ненулевом a такого числа нет; деление на ноль не определено.
Чему равно ноль, делённый на ненулевое число?
Ноль, делённый на любое ненулевое число, равен нулю. Это можно проверить умножением: частное 0, умноженное на делитель, даёт делимое 0.
12. Деление
