§ 1. Математические выражения

Определения и обозначения

Математическое выражение — запись из чисел, букв, знаков действий и скобок, составленная по правилам математики. Например, 8 + 3 и 2 · (a − 1) — выражения. Такая запись нужна, чтобы обозначить вычисление или показать, как числа связаны друг с другом.

Числовое выражение — математическое выражение, в котором используются числа и знаки действий. Например, 18 − 6 : 2 — числовое выражение, и его можно вычислить. Это понятие помогает отличать запись с несколькими действиями от отдельного числа и находить результат вычислений.

Буквенное выражение — выражение, в котором кроме чисел и знаков действий есть буквы. Буква может обозначать число, например a в записи a + 5. Буквенные выражения удобны, когда нужно записать одно правило сразу для разных чисел, а не составлять новую запись для каждого случая.

Значение выражения — число, полученное при выполнении действий в числовом выражении или после подстановки чисел вместо букв. Например, значение выражения 7 + 4 равно 11, а значение a + 4 при a = 7 тоже равно 11. Значение показывает результат, тогда как само выражение задаёт, какие действия нужно выполнить.

Как это устроено

Числовое выражение составляют, соединяя числа знаками действий. Например, если к числу 12 нужно прибавить произведение 5 и 3, записывают 12 + 5 · 3. Такая запись сообщает не только, какие числа участвуют, но и что с ними нужно сделать. Отдельное число, например 12, само по себе не указывает на вычисление и не является такой записью действий.

В буквенном выражении буква занимает место числа. Это позволяет описать один способ вычисления для разных случаев: запись a + 5 подходит и при a = 2, и при a = 10, хотя ответы будут разными. Поэтому значение буквенного выражения зависит от выбранных чисел. Пока числа не заданы, можно указать правило вычисления, но нельзя получить единственный числовой результат.

Чтобы не менять порядок действий наугад, сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. У умножения и деления приоритет выше, потому что они связывают числа в произведение или частное до того, как результат прибавят или вычтут. Например, в выражении 12 + 5 · 3 сначала находят 5 · 3, а затем прибавляют 12. Если действия одного уровня стоят рядом, их выполняют слева направо.

Запись должна передавать смысл задачи, иначе вычисление даст ответ на другой вопрос. В выражении 12 + 5 · 3 к 12 прибавляют произведение 5 и 3: сначала считают 5 · 3. В записи (12 + 5) · 3 сначала складывают 12 и 5, а полученную сумму умножают на 3. Скобки нужны, чтобы явно показать, какое действие должно быть первым.

Чтобы найти значение буквенного выражения, сначала заменяют буквы заданными числами, а затем выполняют действия в установленном порядке. Например, в 3a + 2b при a = 5 и b = 4 нужно получить 3 · 5 + 2 · 4. Подстановка превращает буквенную запись в числовую, которую уже можно вычислить. Если одна буква встречается несколько раз, заданное число нужно поставить вместо каждого её вхождения.

Виды математических выражений и работа с ними

Сначала определите, какой вид записи перед вами: числовой или буквенный. Затем посмотрите, заданы ли значения букв, и выберите нужный способ работы. В любом случае соблюдайте порядок действий: он помогает получить правильный результат.

Разбор задач

Задача 1. Найди значение выражения 18 − 6 : 2. Здесь есть деление и вычитание, поэтому нельзя просто считать слева направо. Деление выполняется раньше вычитания. Сначала найдём частное, а затем вычтем его из 18.

1. Выполняем деление: 6 : 2 = 3.
2. Подставляем полученный результат в выражение: 18 − 3.
3. Вычитаем: 18 − 3 = 15.

Ответ: 15. Проверка порядка помогает заметить, что вычитание 18 − 6 первым действием здесь выполнять нельзя. Если сделать это, а потом разделить результат на 2, получится другое число и другое вычисление.

Задача 2. Найди значение выражения 4 · (15 − 9) + 7. Скобки показывают, что сначала нужно найти разность 15 и 9. После этого результат умножают на 4, а затем прибавляют 7. Такой порядок сохраняет смысл записи и не позволяет начать с умножения или сложения.

1. Считаем в скобках: 15 − 9 = 6.
2. Умножаем результат на 4: 4 · 6 = 24.
3. Прибавляем 7: 24 + 7 = 31.

Ответ: 31. Можно проверить решение по исходной записи: сначала выполнена часть в скобках, затем умножение, после него сложение. Если убрать скобки, порядок и значение выражения могут измениться.

Задача 3. Найди значение выражения 3a + 2b при a = 5 и b = 4. Буквы здесь обозначают заданные числа, поэтому заменим a на 5, а b на 4. Коэффициенты 3 и 2 означают умножение: 3a — это 3 · a, а 2b — 2 · b. После подстановки получим числовое выражение.

1. Подставляем значения обеих букв: 3 · 5 + 2 · 4.
2. Выполняем умножение: 15 + 8.
3. Складываем: 15 + 8 = 23.

Ответ: 23. Чтобы проверить подстановку, сравните её с исходным выражением: число 5 должно стоять вместо каждой a, а число 4 — вместо каждой b. После этого проверьте порядок действий: сначала умножение, затем сложение.

Типичные ошибки

Первая ошибка — выполнять действия просто слева направо, не учитывая, что умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Так поступают, если воспринимают все знаки как равные по важности. Проверяй себя: перед вычислением отметь действия в порядке выполнения и сначала найди произведения и частные.

Вторая ошибка — пропускать скобки, словно это необязательные знаки. Скобки задают, что нужно вычислить раньше, поэтому их игнорирование может изменить результат. Проверяй себя: сначала отдельно посчитай выражение внутри каждой пары скобок и только потом переходи к остальным действиям.

Третья ошибка — подставлять значение буквы не во все её вхождения или записывать подстановку неверно. Такое случается, когда буквы заменяют по одной, не сверяясь с исходным выражением. Проверяй себя: обведи одинаковые буквы и убедись, что каждая заменена одним и тем же заданным числом.

Четвёртая ошибка — считать, что выражение 7 + 4 уже является числом 11. Здесь путают запись действия с его результатом: 7 + 4 — выражение, а 11 — его значение. Проверяй себя вопросом: я записываю, что нужно вычислить, или уже сообщаю ответ? Эти записи связаны, но обозначают разное.

Связь с другими темами

До работы с выражениями нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа. Также важно соблюдать порядок действий, иначе даже верно составленная запись приведёт к ошибке при вычислении. Эти умения нужны для всех примеров с несколькими действиями.

Буквенные выражения пригодятся при изучении формул и уравнений. С их помощью можно одной записью описать разные числовые случаи: достаточно подставить подходящие значения букв. Это полезно и в задачах, где исходные числа могут меняться.

Понимание порядка действий поможет вычислять выражения с несколькими действиями и скобками. Позже тот же навык будет нужен, когда записи станут длиннее и в них появятся новые знаки. Поэтому полезно каждый раз сначала разбирать структуру выражения, а уже потом считать.

Что запомнить

• Математическое выражение составляют из чисел, букв, знаков действий и скобок.
• Числовое выражение содержит числа, а буквенное — ещё и буквы.
• Буква в выражении обозначает число.
• Значение выражения находят, выполняя действия по порядку.
• Действия в скобках выполняют раньше остальных.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Чтобы найти значение буквенного выражения, подставляют числа вместо букв.