"Математика в 2-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Метод перебора помогает найти все подходящие варианты или подсчитать их количество. Сначала нужно выбрать порядок действий: например, закрепить одну часть условия и по очереди менять другую. Затем каждый случай проверяют и отмечают, чтобы не повторить его и ничего не пропустить. Полный перебор даёт уверенность в ответе, если список возможных случаев конечен и рассмотрен целиком.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вариант — один возможный способ выполнить условие задачи. Например, число 12 — один вариант составить двузначное число из цифр 1, 2 и 3; число 13 — другой. Варианты отличаются выбранными числами, предметами или действиями, и это понятие помогает точно назвать то, что мы проверяем.
Перебор — последовательная проверка возможных вариантов, чтобы найти подходящие или убедиться, что рассмотрены все. Мы не просто называем случаи, а проверяем каждый по условию задачи. Так легче увидеть подходящие ответы и понять, какие варианты ещё остались.
Полный перебор — проверка всех возможных вариантов без пропусков. Если вариантов конечное число и каждый проверен, мы можем быть уверены, что нашли все ответы или что подходящих ответов нет. Неполный список такой уверенности не даёт: незамеченный случай может оказаться решением.
Систематический перебор — упорядоченная проверка вариантов по выбранному правилу, например по возрастанию или по группам. Правило помогает помнить, что уже проверено, а что ещё нет. Поэтому систематический перебор уменьшает вероятность пропусков и повторов.
В задаче может быть несколько подходящих вариантов, и первый найденный не обязательно является единственным. Поэтому сначала выясни, что требуется: назвать один пример, перечислить все ответы или сосчитать их. Если нужны все варианты, остановка после первого ответа не решает задачу, даже если этот ответ верный.
Чтобы перебор был понятным, выбери порядок до начала проверки. Удобно зафиксировать одну часть условия, а затем последовательно менять другую: например, выбрать цифру десятков и для неё перебрать цифры единиц. Так каждый шаг связан с предыдущим, а переход к следующему случаю становится заметным.
Записывай случаи по выбранному правилу: в списке, таблице или схеме. Например, можно отмечать отдельно все проверенные варианты и те, которые подошли. Такая запись показывает, где ты остановился, помогает сравнивать случаи и не возвращаться к уже проверенному без причины.
Перебор завершён, когда рассмотрены все возможные случаи и каждый найденный вариант проверен по условию. Для проверки проследи за каждой группой: все ли варианты внутри неё записаны, нет ли пропущенной группы. Если задача просит подходящие варианты, убедись, что каждый из них удовлетворяет всем ограничениям.
Когда вариантов много, беспорядочный список трудно контролировать: похожие случаи путаются, а некоторые теряются. Раздели их на группы или составь схему, двигаясь по одному признаку за раз. Тогда можно проверять небольшие понятные части и видеть, какие из них уже закончены.
| Приём | Как выполнять | Что помогает контролировать |
|---|---|---|
| Перебирать по возрастанию или в другом установленном порядке | Расположить случаи по выбранному правилу и проверять один за другим | Последовательность и отсутствие повторов |
| Фиксировать одну часть условия и менять остальные | Оставить один признак неизменным, а остальные по очереди перебирать | Варианты, рассмотренные при каждом фиксированном признаке |
| Разбивать варианты на группы | Сначала перебрать одну группу, затем перейти к следующей | Полноту рассмотрения всех групп |
| Записывать проверенные и подходящие варианты отдельно | Отмечать каждый проверенный случай и выделять те, что подходят | Пропуски, повторы и правильность ответов |
Выбирай приём, который подходит к условию: иногда достаточно списка, а иногда удобнее таблица или группы. Перед тем как закончить, проверь, что по выбранному правилу просмотрены все случаи. В таблице можно отдельно отмечать, какие варианты проверены и какие удовлетворяют условию.
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2 и 3, если цифры в числе не повторяются? Перечислим все числа. Поскольку повторять цифру нельзя, после выбора цифры десятков для единиц остаются две другие цифры.
Поставим в разряд десятков цифру 1. В разряд единиц можно поставить 2 или 3, получаем 12 и 13.
Теперь поставим в разряд десятков цифру 2. Для единиц остаются 1 и 3, получаем 21 и 23.
Наконец, поставим в разряд десятков цифру 3. Для единиц остаются 1 и 2, получаем 31 и 32.
Проверим полноту: десятками по очереди стали все три цифры, а в каждом случае использованы обе оставшиеся цифры. Повторов цифр в числах нет.
Ответ: 6 чисел: 12, 13, 21, 23, 31, 32.
У Маши есть две юбки и три блузки. Сколько разных комплектов из одной юбки и одной блузки она может составить? Удобно группировать комплекты по юбке: так каждая блузка будет учтена с каждой юбкой.
Назовём юбки первой и второй, а блузки — первой, второй и третьей. Сначала зафиксируем первую юбку.
С первой юбкой составим комплекты по очереди с тремя блузками: первая юбка и первая блузка, первая юбка и вторая блузка, первая юбка и третья блузка.
Теперь зафиксируем вторую юбку и составим комплекты с каждой из трёх блузок. Получим ещё три комплекта.
Проверим, что группы не пересекаются: в первой юбка первая, во второй — вторая. Внутри каждой группы перебраны все три блузки.
Ответ: 6 комплектов: первая юбка с каждой из трёх блузок и вторая юбка с каждой из трёх блузок.
Из цифр 0, 1, 2 и 4 составляют трёхзначные числа без повторения цифр. Сколько таких чисел делятся на 2? Число делится на 2, если его последняя цифра чётная, а в разряде сотен не может стоять 0. Поэтому сгруппируем перебор по последней цифре.
Если последняя цифра 0, на место сотен можно поставить 1, 2 или 4. Для каждого выбора на место десятков остаются две цифры, значит, получаем 3 × 2 = 6 чисел.
Если последняя цифра 2, для сотен остаются 0, 1 и 4, но 0 в этом разряде запрещён. Можно выбрать 1 или 4, а для десятков после этого остаются две цифры: 2 × 2 = 4 числа.
Если последняя цифра 4, для сотен можно выбрать 1 или 2, а на место десятков остаются две цифры. Получаем ещё 2 × 2 = 4 числа.
Проверим группы: последней цифрой могли быть только 0, 2 или 4, и каждая группа подсчитана отдельно. Всего 6 + 4 + 4 = 14.
Ответ: 14 чисел.
Перебирать без выбранного порядка — значит называть случаи как придётся. Так часто поступают, потому что сначала кажется, что можно просто вспомнить все ответы. Задай правило и проверь, не повторяются ли случаи и не осталось ли непроверенных.
Остановиться после первого подходящего варианта — ошибка, если нужно перечислить все ответы или найти их количество. Первый найденный случай заметен, поэтому легко решить, что задача уже выполнена. Сверься с вопросом и продолжай, пока не будут рассмотрены все случаи.
Не учитывать ограничение условия — например, записать число с повторяющимися цифрами, хотя повторение запрещено. Такое происходит, если сосредоточиться на переборе и забыть перечитать условие. Проверяй каждый вариант по всем ограничениям, а не только по главному признаку.
Объявить перебор законченным, не проверив группы, — значит допустить, что какой-то случай остался незамеченным. Часто кажется, что список достаточно длинный, но длина не доказывает его полноту. Проверь каждую группу и все варианты внутри неё по заранее выбранному правилу.
Для перебора нужно внимательно читать условие, выделять ограничения и уметь проверять, подходит ли конкретный вариант. Он опирается на умение упорядочивать объекты и делить их на группы: это помогает вести проверку последовательно. Метод используют в задачах на подсчёт вариантов и поиск решений, а также при составлении таблиц и схем. Эти способы записи делают ход решения наглядным и помогают контролировать полноту.
Перебор помогает найти подходящие варианты среди возможных.
Порядок перебора нужно выбрать заранее.
Каждый вариант проверяют по условию задачи.
Полный перебор не пропускает ни одного возможного случая.
Удобно фиксировать одну часть условия и менять остальные.
Сложный перебор можно разделить на группы.
Чем перебор отличается от случайного подбора?
При случайном подборе варианты называют без установленного порядка, поэтому некоторые случаи легко пропустить или повторить. Перебор организуют по правилу и последовательно проверяют возможные случаи.
Как понять, что перебор полный?
Нужно убедиться, что рассмотрены все возможные группы и все варианты внутри каждой группы. Каждый подходящий случай проверяют по условию, а пропущенных случаев не остаётся.
Как не записать один вариант дважды?
Выбери порядок перебора и придерживайся его, например перебирай числа по возрастанию. Записывай уже проверенные случаи и сравнивай новые с ними.
Можно ли при переборе сразу отбрасывать неподходящие варианты?
Да, если вариант нарушает условие, его можно не включать в список подходящих. Но продолжай рассматривать остальные возможные случаи, чтобы не пропустить ответ.
Что делать, если вариантов слишком много?
Раздели варианты на группы или составь таблицу либо схему. Можно сначала использовать ограничения задачи, чтобы отсеять неподходящие случаи.
4. Метод перебора
