"Математика в 2-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Высказывание — это предложение, про которое можно точно сказать: оно истинно или ложно. Такие предложения встречаются в математике постоянно: например, «7 — простое число». Чтобы проверить их, нужно обращаться к фактам, определениям и условиям задачи. Из простых высказываний можно составлять новые с помощью слов «не», «и», «или». Понимание этих связок помогает внимательно читать задачи и проверять рассуждения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. «7 — простое число» — высказывание, а «Сколько будет 3 + 4?» — вопрос: у него нет значения истинности. Просьба «Откройте тетради» тоже не утверждает факт, поэтому не является высказыванием.
Истинное высказывание соответствует действительности, а ложное высказывание ей не соответствует. Например, «2 + 3 = 5» — истинное высказывание, а «2 + 3 = 6» — ложное. Это различие нужно, чтобы проверять математические утверждения, а не принимать их на веру.
Отрицание высказывания — новое утверждение о том, что исходное высказывание неверно. Часто его образуют с помощью слова «не»: отрицание фразы «Число 4 нечётное» — «Число 4 не является нечётным». Отрицание помогает сформулировать противоположное утверждение и проверить его истинность.
Составное высказывание получается, когда простые высказывания соединяют словами «и» или «или». В фразе «Число 8 чётное и число 8 больше 5» соединены две части, а в фразе с «или» достаточно истинности хотя бы одной части. Связка подсказывает, как оценить фразу целиком.
Математические предложения формулируют точно, потому что только так можно решить, истинны они или ложны. Например, фраза «Число большое» не задаёт границу: непонятно, считать ли большим число 100 или 10 000. А в утверждении «Число больше 5» есть точное условие, которое можно проверить. Чем яснее формулировка, тем меньше места для догадок и разногласий.
Чтобы проверить простое высказывание, найди нужное условие или математический факт. Утверждение «18 делится на 3» проверяется делением: 18 : 3 = 6, значит, оно истинно. Если в задаче сказано, что число натуральное и меньше 4, то высказывание «это число больше 10» противоречит условию и ложно. Не угадывай ответ по звучанию фразы — выясняй, что именно о ней известно.
Отрицание образуют так, чтобы оно сообщало: исходное утверждение неверно. Например, для «Число 9 чётное» отрицанием будет «Число 9 не является чётным». Здесь слово «не» меняет смысл всего утверждения. Если добавлять его не к тому слову или не учитывать остальные части фразы, можно получить двусмысленное предложение или вовсе не отрицание исходного высказывания.
Связка «и» требует, чтобы выполнились оба утверждения сразу. Если сказано «Число 10 чётное и число 10 делится на 5», обе части истинны, поэтому истинна вся фраза. Если хотя бы одна часть не подходит, нарушается одно из условий соединённого утверждения. Поэтому при проверке сначала оцени каждую часть отдельно, а затем проверь, истинны ли они обе.
Связка «или» объединяет варианты: достаточно, чтобы верной была хотя бы одна часть. Например, в утверждении «Число 8 чётное или число 8 делится на 3» первая часть истинна, а вторая ложна, но всё высказывание истинно. Если истинны обе части, такое математическое «или» тоже остаётся истинным. Чтобы не ошибиться, проверь отдельно каждое утверждение и помни, что «или» не обязательно означает выбор только одного варианта.
| Вид высказывания | Как образуется | Когда истинно | Пример |
|---|---|---|---|
| Простое высказывание | Содержит одно утверждение | Когда соответствует фактам или условию | 7 — простое число |
| Отрицание | Указывает, что исходное высказывание неверно | Когда исходное высказывание ложно | 7 не является чётным числом |
| Соединение словом «и» | Соединяет две части связкой «и» | Когда истинны обе части | 8 чётное и 8 больше 5 |
| Соединение словом «или» | Соединяет две части связкой «или» | Когда истинна хотя бы одна часть, в том числе обе | 8 чётное или 8 делится на 3 |
Пользуйся таблицей в два шага: сначала определи вид высказывания, затем проверь условие истинности из соответствующей строки. Для связок «и» и «или» обязательно разбери обе части по отдельности. После этого станет ясно, истинна ли фраза целиком.
Определите, является ли высказыванием каждое предложение: «7 — простое число», «Сколько будет 3 + 4?», «Откройте тетради». Укажите истинность там, где это возможно. Сначала выясним, утверждает ли каждая фраза какой-либо факт, который можно проверить. Затем оценим только те предложения, для которых ответ «истинно» или «ложно» имеет смысл.
Ответ: первое предложение — истинное высказывание; второе и третье высказываниями не являются.
Составьте отрицание высказывания «Число 12 делится на 3» и определите истинность исходного высказывания и его отрицания. Здесь нужно не заменить исходный факт случайной фразой, а сказать, что он неверен. После формулировки проверим делимость числа 12 на 3.
Ответ: отрицание — «Число 12 не делится на 3»; исходное высказывание истинно, его отрицание ложно.
Для высказывания «Число 8 чётное и число 8 делится на 3» определите истинность целого высказывания и каждой части. Затем замените «и» на «или» и сравните результаты. Сначала проверим, что сообщают обе части, а потом применим правило для каждой связки.
Ответ: при «и» высказывание ложно, а после замены на «или» — истинно.
Первая ошибка — считать высказыванием вопрос или просьбу. Их часто принимают за высказывания, потому что они тоже могут содержать математические слова или иметь ответ. Но вопрос запрашивает информацию, а просьба побуждает к действию, и ни то ни другое не утверждает проверяемый факт. Спроси себя: можно ли ответить именно «истинно» или «ложно»? Если нет, это не высказывание.
Вторая ошибка — называть любое математическое утверждение истинным, не проверяя его. Знакомые слова могут звучать убедительно, но даже простая фраза может быть ложной: например, 2 + 3 = 6. Проверяй утверждение вычислением, по определению или по условию задачи. Если оснований подтвердить фразу нет, не объявляй её истинной автоматически.
Третья ошибка — механически вставлять слово «не» и считать, что получилось правильное отрицание. Так можно изменить смысл лишь части фразы или получить двусмысленность. Отрицание должно утверждать, что исходное высказывание целиком неверно. Перечитай обе фразы и проверь: может ли исходное утверждение быть истинным одновременно с его отрицанием? Не может.
Четвёртая ошибка — считать фразу со словом «и» истинной, когда верна только одна часть. Так бывает, если ученик проверяет лишь первое утверждение и забывает про второе. Но «и» требует истинности каждой части. Разбей фразу на два утверждения, проверь их по отдельности и убедись, что оба верны.
Для точной проверки высказываний нужно уметь читать математические выражения и понимать слова «равно», «больше», «делится» и другие термины. Если смысл этих слов неясен, невозможно надёжно решить, верно ли утверждение.
Логические связки встречаются в задачах с несколькими условиями. Чтобы выбрать подходящий ответ или проверить решение, нужно выяснить, должны ли выполниться все условия или достаточно одного из них.
Навык различать высказывания и проверять их истинность пригодится при изучении множеств и классификации объектов. Он также помогает строить доказательства: в них каждое утверждение должно быть точно сформулировано и обосновано.
Может ли одно и то же предложение быть истинным в одной ситуации и ложным в другой?
Да, если его истинность зависит от ситуации или неуказанного числа. Например, «Число больше 5» истинно для числа 8, но ложно для числа 3. Чтобы оценить такое предложение, нужно знать, о каком числе идёт речь.
Является ли равенство высказыванием?
Равенство является высказыванием, если его истинность можно определить. Например, 3 + 4 = 7 — истинное высказывание, а 3 + 4 = 8 — ложное. Если в записи есть неизвестное, например x = 5, без значения x нельзя решить, истинна она или ложна.
Как правильно отрицать высказывание с несколькими словами?
Нужно выразить, что исходное утверждение целиком неверно, и проверить получившуюся фразу по смыслу. Например, отрицание фразы «Число 8 чётное и делится на 3» — «Неверно, что число 8 чётное и делится на 3». Не всегда достаточно вставить слово «не» в произвольное место.
Когда составное высказывание со словом «и» становится ложным?
Оно становится ложным, когда хотя бы одна из его частей ложна. Чтобы всё высказывание со связкой «и» было истинным, истинными должны быть обе части. Например, если одна часть верна, а другая нет, всё составное высказывание ложно.
Чем математическое «или» отличается от обычного употребления этого слова?
В математике «или» обычно означает, что истинна хотя бы одна из частей, причём истинными могут быть и обе. В разговоре иногда подразумевают выбор только одного варианта, но такое ограничение в математическом значении связки не заложено. Поэтому при проверке нужно проверить каждую часть.
§ 3. Язык и логика.
