§ 3. Язык и логика.

Определения и обозначения

Язык — система знаков и правил их использования для передачи и понимания информации. В обычном, естественном языке это слова и правила речи, а в математическом — числа, знаки и способы записи. Математический язык помогает выразить мысль короче и точнее, чтобы её можно было проверить и одинаково понять.

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «7 — простое число» сообщает факт, который можно проверить. Это определение нужно, чтобы отличать утверждения, с которыми работает логика, от вопросов и команд.

Истинное высказывание соответствует действительности, а ложное высказывание ей не соответствует. Например, «15 делится на 3» — истинное, а «15 делится на 4» — ложное. Такое различие позволяет оценивать математические утверждения не по тому, как они звучат, а по фактам.

Отрицание высказывания — новое высказывание с противоположным значением истинности. Его часто образуют словами «не» или оборотом «неверно, что». Отрицание нужно, чтобы точно выразить обратное исходному утверждению и сравнить значения истинности двух фраз.

Как это устроено

Любой язык включает знаки, правила их сочетания и смысл получившейся записи. Если нарушить правила, читатель может не понять сообщение или истолковать его по-разному. В математике используются, например, цифры и знаки «+», «=», «>», а порядок записи помогает понять их связь. Поэтому математический язык делает рассуждения краткими, но при этом сохраняет точность.

Не каждое предложение является высказыванием: для него должно быть возможно определить истинность. Вопрос «Чему равно 7 + 5?» ничего не утверждает, а команда «Закройте учебник» не бывает истинной или ложной. Фраза «x больше 3» также не имеет определённого значения, пока неизвестно, чему равен x. Значит, важна не форма предложения, а возможность проверить его смысл.

Простые высказывания можно соединять словами «и» и «или», получая составные. «A и B» истинно лишь тогда, когда истинны обе части: достаточно одной ложной части, чтобы всё высказывание стало ложным. «A или B» истинно, когда истинна хотя бы одна часть; если обе части истинны, всё высказывание тоже истинно. Эти правила позволяют определить результат, не угадывая его по звучанию фразы.

Отрицание меняет значение истинности на противоположное, потому что утверждает, что исходное высказывание неверно. Если исходная фраза истинна, её отрицание ложно; если исходная ложна, отрицание истинно. Проверять высказывание нужно по его смыслу и условиям: например, утверждение может оказаться верным для одного числа и неверным для другого. Такой способ не позволяет принимать за доказательство красивую запись или знакомую форму предложения.

Логические операции над высказываниями

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала разбей составную фразу на простые высказывания и установи истинность каждого. Затем найди связку и примени правило для неё. При отрицании достаточно узнать, истинно или ложно исходное высказывание.

Разбор задач

Задача 1. Определим, какие предложения являются высказываниями, и проверим их истинность: «7 — простое число», «Чему равно 7 + 5?», «Закройте учебник», «x больше 3». Сначала выясним, каждое ли предложение что-то утверждает. Затем проверим, можно ли без дополнительных данных решить, истинно оно или ложно.

1. «7 — простое число» — утверждение. Число 7 делится только на 1 и на себя, поэтому это истинное высказывание.
2. «Чему равно 7 + 5?» — вопрос, а не утверждение. У вопроса нет значения «истина» или «ложь».
3. «Закройте учебник» — команда. Её выполнение можно наблюдать, но сама команда не является истинной или ложной.
4. «x больше 3» зависит от значения x. Без него истинность определить нельзя, поэтому предложение пока не является высказыванием.

Ответ: высказывание только первое предложение, оно истинно. Остальные предложения не позволяют однозначно установить истинность.

Задача 2. Составим отрицания высказываний «15 делится на 3» и «9 не является простым числом», затем проверим их. Важно отрицать всё утверждение, а не просто добавить слово «не» в случайное место. После этого используем правило: отрицание меняет истинность на противоположную.

1. Первое высказывание истинно, так как 15 = 3 × 5. Его отрицание: «15 не делится на 3»; оно ложно.
2. Второе высказывание истинно: 9 = 3 × 3, поэтому 9 составное число. Его отрицание: «9 является простым числом»; оно ложно.
3. Проверим результат: в обоих случаях исходные утверждения истинны, значит, оба отрицания должны быть ложными.

Ответ: «15 не делится на 3» — ложь; «9 является простым числом» — ложь.

Задача 3. Сравним составные высказывания «24 делится на 3 и на 8» и «24 делится на 3 или на 7». Сначала проверим отдельные части: 24 делится на 3, потому что 24 = 3 × 8; на 8 — потому что 24 = 8 × 3; на 7 без остатка не делится. Потом применим правила для «и» и «или».

1. В первой фразе обе части истинны. Связка «и» требует истинности обеих частей, поэтому всё высказывание истинно.
2. Во второй фразе первая часть истинна, а вторая ложна. Для связки «или» достаточно одной истинной части, поэтому вся фраза истинна.
3. Результаты совпали, хотя значения частей различаются: это следует из разных правил для «и» и «или».

Ответ: оба составных высказывания истинны.

Типичные ошибки

Ошибка — считать вопрос или приказ высказыванием только потому, что он записан обычными словами. Так бывает, если ориентироваться на вид предложения, а не на его смысл. Проверка простая: попробуй ответить, можно ли назвать фразу истинной или ложной; если это вопрос или команда, нельзя.

Иногда отрицание понимают как любое утверждение с противоположным оттенком и меняют не ту часть фразы. Так легко получить мысль, которая не является точным отрицанием исходной. Проверь себя: исходное высказывание и его отрицание должны иметь разные значения истинности, а вместе они не должны быть истинными или ложными одновременно.

Высказыванию с переменной иногда сразу приписывают истинность или ложность. Причина в том, что пример с каким-то одним числом незаметно принимают за общее правило. Подставь разные допустимые значения переменной: если результат меняется, без заданного значения однозначного ответа нет.

Связку «или» ошибочно понимают только как выбор одного из вариантов. В обычной речи такое прочтение встречается часто, но в математике «A или B» истинно и тогда, когда истинны обе части. Чтобы проверить себя, отдельно оцени каждую часть и вспомни: для ложности математического «или» обе части должны быть ложными.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь читать математические выражения, сравнивать числа и понимать знаки «равно», «больше» и «меньше». Эти знания помогают точно установить, что именно утверждает предложение. Логика пригодится при анализе условий задач, переборе вариантов и проверке рассуждений. Понятия высказывания и связок будут использоваться дальше при изучении уравнений, множеств, алгоритмов и доказательств.

Что запомнить

• Высказывание — предложение, которому можно однозначно приписать значение «истина» или «ложь».
• Вопросы, приказы и предложения с неизвестной переменной сами по себе высказываниями не являются.
• Отрицание истинного высказывания ложно, а отрицание ложного — истинно.
• Высказывание «A и B» истинно только тогда, когда истинны и A, и B.
• Высказывание «A или B» истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний A и B.
• Математический язык использует специальные знаки и правила, чтобы точно и кратко записывать рассуждения.